算法的时间复杂度和空间复杂度
目录
本章重点
一 时间复杂度
2.1 时间复杂度的概念
2.2 大O的渐进表示法
2.3 常见的时间复杂度的计算
二 空间复杂度
三 常见复杂度对比
四 复杂度的oj练习
4.1 消失的数字
4.2 旋转数字
每一天都是人生限定，每一天都值得100%努力
本章重点
（1）算法效率（2）时间复杂度（3）空间复杂度（4）常见的时间复杂度以及复杂度oj练习
衡量一个算法的好坏，是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度主要衡量一个算法运行的快慢，空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。
一 时间复杂度
2.1 时间复杂度的概念
算法的时间复杂度是一个函数（指的是数学函数），算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
for (int j = 0; j < N; ++j)
{
++count;
}
}
//N*N
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
//2*N
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
//M=10
printf("%d\n", count);
}（1）时间复杂度表达式为：F（N） = N*N+2 * N + 10
（2）大O渐进表示法：O(N^2)这个函数的基本操作次数是：F（N） = N*N+2 * N + 10，随着N的增大，后两项对整个影响的结果变可以忽略不计小。当N无限大的时候，后两项对结果的影响
2.2 大O的渐进表示法
4.另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况： 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界) ；平均情况：任意输入规模的期望运行次数 ；最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)；在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
2.3 常见的时间复杂度的计算
代码一：
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}时间复杂度为O（1）【因为大O的渐进表示法的第一条用常数1取代运行时间中的所有加法常数。】（我们可以看到执行次数为100）（所以，看到大O的渐进表示法，并不是让我们只能执行一次）（常数都是1）
代码二：
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}时间复杂度为O(N)[大O的渐进表示法，第三条：如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。【实际的执行次数是：2*N+10】
代码三：
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N; ++k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}时间复杂度为O(N+M);如果给出N远大于M，就可以写成O(N)；如果给出N和M差不多就可以写成O(N)或者O(M)；该代码什么都没有给，所以就是O(M+N)；
代码4
const char* strchr(const char* str, int character)
{
while (*str)
{
if (*str == character)
return str;
else
++str;
}
return NULL;
}时间复杂度为O(N)；因为不确定什么时候被找到，第四条：在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
关于时间复杂度，我们要准确分析时间复杂度，一定要去看思想，不能仅仅去看程序是几层循环，主要是要看代码的思想。比如：冒泡排序（O(N^2)），就是N-1,N-2,N-3……2,1,是一个等差数列（N-1+1）(N-1)/2=N(N-1)【这是最差情况】，N-1【最好的情况】。
二分查找的时间复杂度：O(㏒₂N )【最好的情况：O(1)一次找到； 最差的情况(找不到的情况）：O(log2 N ) （1*2*2*2…2)^X(次）= N(从找不到的时候，向前思想】
时间复杂度，会把O（㏒₂N）简写成O(logN).有些书籍也会写成O(lgN)（这个是不正规的）
代码5
long long Fac(size_t N)
{//阶乘
if (0 == N)
return 1;
return Fac(N - 1) * N;
}时间复杂度为O(N)，；实际上是N+1
代码6
long long Fac(size_t N)
{
if (0 == N)
return 1;
for (size_t i = 0; i < N; ++i)
{
printf("%d", i);
}
printf("\n");
return Fac(N - 1) * N;
}时间复杂度为O(N^2)，；实际上是(N-1)+（n-2）+……+1+0
递归算法的时间复杂度：1、每次函数调用如果是是O(1)，那么就看他的递归次数（递归次数是多少，时间复杂度就是多少)（代码5）
2、如果不是O(1)，那么就看他的递归调用次数的累加（每次递归，函数调用的累加）（代码6）
代码7
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
//斐波那契数列
//符合递归算法的第一种时间复杂度为O(2^N)，第一层调用一次，第二层 调用2次，第三层调用4次 ，一直到Fib（3）分成Fib（2）+Fib（1），那就是N-1层（假设每一层都是满的，起始并不是每一层都是满的），那最后一层就是2^(N-1)，然后就是等比数列相加，就是(2^n-1)-1,
二 空间复杂度
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}空间复杂度为O(1)，临时占用储存空间的变量有i、exchange、end，一共三个。
代码2
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if (n == 0)
return NULL;
long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
}
return fibArray;
}空间复杂度为O(N)，临时占用储存空间有指针开辟的空间n+1个,指针fibArray,i;一共n+3个
代码3
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}时间复杂度为O(2^N),空间复杂度为O(N)，会误认为空间复杂度也是O(2^N),但是递归的调用的函数，调用完之后就销毁了，把空间还给系统了，下次调用的时候，再次开辟，空间又被使用，空间是可以重复利用。所以仍然是那一份空间。（局部变量存在栈上面，函数结束，局部变量也就销毁了）
知识点：时间一去不复返，是累积的，空间回收以后，可以重复利用。
三 常见复杂度对比
一些常见的复杂度
四 复杂度的oj练习
4.1 消失的数字
数组nums包含从0到n的所有整数，但其中缺了一个。请编写代码找出那个缺失的整数。(时间复杂度为O(N)
输入：[3,0,1]输出：2；
思路一:先排序，然后进行遍历（冒泡O(N^2），看是否是前一个数字+1得到的值（但是时间复杂度不符合题意）
思路二:映射方式（首先定义一个数组，里面的值全部赋值成-1，然后输入的数组，每一个值是多少，就作为下标对应的位置写多少）（时间复杂度为：O(N)）
思路三:异或（用一个val和0-N的数字异或，再和数据中的数字异或，最后cal中得知就是缺失的值）（O(N)）
思路三:等差数列(O(N))
代码1展示：（思路三）函数接口型
int missingNumber(int* nums, int numsSize){
int x = 0;
for (int i = 0; i < numsSize; ++i)
{
x ^= nums[i];
}
for (int i = 0; i < numsSize + 1; ++i)
{
x ^= i;
}
return x;
}4.2 旋转数字
给定一个整数数组 nums，将数组中的元素向右轮转 k 个位置，其中 k 是非负数。输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 3输出: [5,6,7,1,2,3,4]解释:向右轮转 1 步: [7,1,2,3,4,5,6]向右轮转 2 步: [6,7,1,2,3,4,5]向右轮转 3 步: [5,6,7,1,2,3,4]
思路一:右旋K次（每次右旋一次）【时间复杂度为O(N*K)；空间复杂度为O(1)】（时间复杂度的k最大为N-1），最坏的结果为O(N^2)）
思路二:开设一个新的数组，把后k个放到新数组的前面，前面的依次放到后面【时间复杂度O(N),空间复杂度O(N)】 (这种方法比第一种，就是时间换取空间的算法）
思路三:三趟逆置【时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)】
(思路一和思路三在C语言进阶栏目-C进阶习题里面有详细说明 http://t.csdn.cn/sFLCM）
思路三：（函数接口型）
void reverse(int* arr,int left, int right)
{
while (left < right)
{
int tmp = arr[left];
arr[left] = arr[right];
arr[right] = tmp;
++left;
--right;
}
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k){
int m = k % numsSize;
reverse(nums, 0, numsSize - m - 1);
reverse(nums, numsSize - m, numsSize - 1);
reverse(nums, 0, numsSize -1);
}