【C语言】负数取模、取余

一. 关于“取整”

首先谈谈关于数学取整的问题

1. 向0取整

C中的除法和取整规则都是向0取整，即所有小数都向 0 的方向取整：

示例：

#include 

int main()
{
	// C中的除法和取整规则都是向0取整
	int i = -2.9;
	int j = 2.9;
	printf("%d\n", i); // -2
	printf("%d\n", j); //  2
	return 0;
}

补充：C++11中有一个trunc(...)取整函数，作用就是向0取整

2. 向负无穷取整

使用 floor(...)函数，使得所有小数都向负无穷方向取整：

示例：

#include 
#include  //因为使用了floor函数，需要添加该头文件

int main()
{
	//本质是向-∞取整
	printf("%f\n", floor(-2.9)); //-3
	printf("%f\n", floor(-2.1)); //-3
	printf("%f\n", floor(2.9));  //2
	printf("%f\n", floor(2.1));  //2
	return 0;
}

3. 向正无穷取整

使用ceil(...)函数，使得所有小数都向正无穷方向取整：

示例：

#include 
#include 

int main()
{
	// 本质是向+∞取整
	printf("%f\n", ceil(-2.9)); //-2
	printf("%f\n", ceil(-2.1)); //-2
	printf("%f\n", ceil(2.9));  //3
	printf("%f\n", ceil(2.1));  //3
	return 0;
}

4. 四舍五入式的取整

使用round(...)函数，可以完成对小数四舍五入式的取整：

#include 
#include 

int main()
{
	//本质是四舍五入
	printf("%f\n", round(2.1)); // 2
	printf("%f\n", round(2.9)); // 3
	printf("%f\n", round(-2.1));// -2
	printf("%f\n", round(-2.9));// -3
	return 0;
}

二. 关于“取模”的本质

取模的定义如下：

如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个整数 q 和 r，满足 a = q*d + r ，且0 ≤ |r| < |d|。其中，q 被称为商，r 被称为余数。

下面我们对比不同语言下负数取模的结果：

可以看到，在不同语言中计算同一个表达式，负数“取模”结果是不同的。我们可以分别称之为叫做正余数 和 负余数。

由上面的例子可以看出，具体余数r的大小，本质是取决于商q的。
而商，又取决谁呢？取决于除法计算的时候，取整规则。

• Python的取整规则是向负无穷方向取整，所以先计算出来商是 -4，然后才得到余数是2
  
• C语言的取整规则是向0取整，所以先计算出来商是 -3，然后才得到余数是1
  

三. 取余和取模的区别

经过上面的例子，我们已经知道了取模（余）的本质是要先计算出商是多少，而商的值取决于商的取整规则。

所以区余和取模的区别也体现在 商的取整规则 上：

• 取余：尽可能让商，进行向0取整
• 取模：尽可能让商，向-∞方向取整

所以：

• C中%，本质其实是取余
• Python中%，本质其实是取模

关于取模和取余的一个规律

同符号数据相除，得到的商，一定是正数，即大于0！

所以在对其商进行取整的时候，向0取整和向-∞方向取整的值都一样，这样子的话：取模的值 = 取余的值。