01背包问题----动态规划 -----python代码、优化

问题描述：

容量为C的背包选择装物品，有n个物品，它们有各自的体积wi和价值vi，如何让背包里装入的物品具有最大价值？

解题思路：

也就是n个物品选择装入背包，每个物品都有两种选择，是（1）或否（0），

建模：       xi表示当前第i个物品是否选择，xi取值为（0,1）。

        约束条件：,选择的物品重量小于等于C，且这几样物品加起来的价值最大。

动态规划：

           动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路

         适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性  。 最优化原理（最优子结构性质）

          最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。

          无后效性 将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。

           动态规划没有统一的处理方法，必须根据问题的各种性质并结合一定的技巧来处理，一般最常见的就是用公式求出每个位置的最大值，然后用二维列表保存，这是最基础的，之后再想办法优化。

         

递推关系：

1、V(i,j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的最大价值

首先对当前第i个物品是否选择装，背包容量装不下当前物品，所以选择不装，所以当前最大价值就是前i-1个物品时的最大价值。V(i-1,j)

2如果背包容量可以装下当前的物品，就需要判断是否装。

max(不装v(i-1,j),  ),也就是不装时最大价值等于前i-1个物品时的最大价值，装就是最大价值等于装下的这个物品的价值加上背包容量为(j-wi)(减去当前这个物品的wi）时能装前i-1个物品时的最大价值（vij-wi），选取两者的最大值。

举例：4个物品： 

 通过填表的方式：

 追踪解：

 如果当前i个物品的最大价值和前i-1个东西的最大价值一样时，说明第i个物品没放，则x;=0。反之当前i个物品的最大价值大于前i-1个物品的最大价值时，说明放了第i个物品，则x;=1。

 代码：（Python）:

def bag(n, c, w, v):
    res = [[0 for j in range(c + 1)] for i in range(n + 1)]#初始值全赋值为0
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, c + 1):
            res[i][j] = res[i - 1][j]#根据公式填写表，得到最大收益
            if j >= w[i - 1] and res[i][j] < res[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]:
                res[i][j] = res[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]
    return res
def show(n, c, w, res):
    print('最大收益为:', res[n][c])
    x = [False for i in range(n)]
    j = c
    for i in range(1, n + 1):  # (1,6)
        if res[i][j] > res[i - 1][j]:#判断项目是否投资
            x[i - 1] = True
            j -= w[i - 1] #投资后(资金-当前金额投资）
    print('选择的项目为:')
    for i in range(n):
        if x[i]:
            print('第', i + 1, '个,', end='') #展示结果
    print('')
#实例
n = 5
c = 10
w = [2, 2, 6, 5, 4]
v = [6, 3, 5, 4, 6]
res = bag(n, c, w, v)
show(n, c, w, res)

利用动态规划解决此问题的效率即是填写此张表的效率，所以动态规划的 时间效率为O(number*capacity)=O(n*c)，

由于用到二维数组存储子问题的解，所以动态规划的 空间效率为O(n*c)；

 

优化，从上述的填表的过程中，我们可以发现vij的值只与上一行有关。

可以将V缩减成一维数组，从而达到优化空间的目的，状态转移方程转换为 B(j)= max{B(j), B(j-w(i))+v(i)}； 每一次推导V(i)(j)是通过V(i-1)(j-w(i))来推导的，所以要保留上一行前面的值。所以一维数组中j的扫描顺序应该从大到小(capacity到0)，否者前一次循环保存下来的值将会被修改，从而造成错误。