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【920信号与系统笔记】第三章 连续信号的正交分解

连续信号的正交分解

  • 3.1引言
  • 3.3信号表示为傅里叶级数(FS)
    • 三角傅里叶级数
      • 1. 本质
      • 展开式1
      • 展开式2
      • 展开条件-狄利克雷条件
      • 分量概念
      • 补充
    • 指数傅里叶级数
      • 使用条件
      • 形式1（按连续信号的正交分解定义展开）
      • 形式2（由三角函数形式的傅里叶级数推导）
    • 各展开式的联系
      • 注意事项
    • 函数的奇偶性质与谐波含量的关系
      • 1.奇偶函数
      • 2. 奇谐函数
      • 3. 偶谐函数

3.1引言

【920信号与系统笔记】第三章 连续信号的正交分解_第1张图片

时域中，近代时域法将信号分解为冲激信号的和，根据冲激响应与激励信号的卷积计算系统对信号的响应；频域中，将信号分解为一系列正弦信号的和，通过系统对正弦信号的响应求解系统对信号的响应

3.3信号表示为傅里叶级数(FS)

三角傅里叶级数

1. 本质

将任意信号在正交函数集（三角函数是最常用的正交函数集）中展开，即表示成该正交集函数的线性组合

展开式1

【920信号与系统笔记】第三章 连续信号的正交分解_第2张图片

展开式2

【920信号与系统笔记】第三章 连续信号的正交分解_第3张图片

展开条件-狄利克雷条件

本质： 等式左右两边的函数的差的方均误差趋于零
条件：
在一个周期内，函数绝对可积
在一个周期内，函数的极值数有限
在一个周期内，函数连续或有有限个间断点

分量概念

直流分量
【920信号与系统笔记】第三章 连续信号的正交分解_第4张图片
基波分量
【920信号与系统笔记】第三章 连续信号的正交分解_第5张图片
n次谐波分量
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补充

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指数傅里叶级数

使用条件

当方波占空比比较小，而且不具有奇偶性时，宜用指数形式

形式1（按连续信号的正交分解定义展开）

【920信号与系统笔记】第三章 连续信号的正交分解_第8张图片

形式2（由三角函数形式的傅里叶级数推导）

【920信号与系统笔记】第三章 连续信号的正交分解_第9张图片

各展开式的联系

【920信号与系统笔记】第三章 连续信号的正交分解_第10张图片

注意事项

arctan计算时，要考虑an和bn的象限，一四象限不变，第二象限+π，第三象限-π

函数的奇偶性质与谐波含量的关系

1.奇偶函数

奇函数的傅里叶级数中只有正弦分量
偶函数的傅里叶级数中只有直流和余弦分量

2. 奇谐函数

定义
在这里插入图片描述
性质： 奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量

3. 偶谐函数

定义
在这里插入图片描述
性质： 偶谐函数的傅里叶级数只有直流和偶次谐波分量

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