【离散数学】集合论

目录

集合的基本概念

集合的表示

集合与集合之间的关系

几个特殊的集合

集合的运算

无限集、可数集、不可数集

与集合相关的应用

计数问题

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集合的基本概念

集合就是由一些元素组成的整体，每一个元素可以是任何东西——数字、字母、词语、图片等。集合中的元素都是互不相同的，没有重复的元素。

集合的表示

数学中通常用大写字母 A、B、C 等表示集合，元素用小写字母或者数字表示。例如，表示自然数的集合为N={1,2,3,...}。

集合与集合之间的关系

包含关系：当集合A的所有元素都是集合B的元素时，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。反之，如果集合A既是集合B的子集又不等于集合B，那么集合A就是集合B的真子集，记作A⊂B。

交集和并集：集合A和集合B的交集，记作A∩B，是指同时属于集合A和集合B的元素组成的集合；集合A和集合B的并集，记作A∪B，是指属于集合A或集合B中至少一个的元素组成的集合。

差集：集合A和集合B的差集，记作A-B，是指属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。
 

几个特殊的集合

空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。

单元素集：只包含一个元素的集合称为单元素集，例如{1}。

全集：包含所有可能元素的集合称为全集，通常用U表示。
 

集合的运算

交换律、结合律、分配律等法则同样适用于集合的运算。
 

无限集、可数集、不可数集

如果一个集合包含无限个元素，那么就称它为无限集。如果无限集的元素能够一一对应地列举出来，那么就称它为可数集。例如，整数集、有理数集等都是可数集。不可数集则是指无法一一对应地列举出来的集合，例如实数集。
 

与集合相关的应用

集合在各种科学领域中都有广泛的应用，例如：

概率论和统计学中，集合被用来表示各种事件的可能性。
计算机科学中，集合被用来表示数据结构，例如树、图等。
集合论还被广泛应用于数学和逻辑学中，为许多数学分支提供了基础。
集合的计算机表示
在计算机科学中，集合可以用数组、链表、哈希表等数据结构来表示。常见的操作包括插入元素、删除元素、查找元素等。

计数问题

集合还与很多计数问题相关。例如，在一个班级中，有10个男生和12个女生，那么这个班级中学生的总数是多少？答案就是男生集合和女生集合的并集的大小，即10+12=22。