离散数学复习:命题逻辑的推理理论

命题逻辑的推理理论

1. 基本推理形式和蕴涵关系

1.1 基本推理形式

所谓推理,指的是从一组前提合乎逻辑地推理出结论的过程。在这里我们用命题公式来表达前提和结论。

定义:

G 1 , G 2 , . . . , G n , H G_1, G_2,...,G_n, H G1,G2,...Gn,H公式,称 H H H G 1 , G 2 , . . . , G n G_1, G_2,... , G_n G1,G2,...,Gn的逻辑结果当且仅***当对任意解释 I I I,如果 I I I使得 G 1 ∧ G 2 ∧ . . . ∧ G n G_1 \land G_2\land...\land G_n G1G2...Gn为真,则 I I I也会使H为真。记为 G 1 , G 2 , . . . , G n ⇒ H G_1,G_2,... ,G_n\Rightarrow H G1,G2,...,GnH**“ ⇒ \Rightarrow ”称为蕴涵关系。此时称 G 1 , G 2 , . . . , G n ⇒ H G_1, G_2,... , G_n\Rightarrow H G1,G2,...,GnH为有效的,否则称为无效的。 G 1 , G 2 , . . . , G n G_1, G_2,... ,G_n G1,G2,...,Gn称为一组前提,有时用集合 Γ \Gamma Γ来表示,记为$\Gamma= {G_1, G_2,… ,G_n} , , H 称为结论。此时也称 称为结论。此时也称 称为结论。此时也称H 是前提集合 是前提集合 是前提集合\Gamma 的逻辑结果。记为 的逻辑结果。记为 的逻辑结果。记为\Gamma→H$。

公理:

公式 H H H是前提集合 Γ = { G 1 , G 2 , . . . , G n } \Gamma = \{G_1,G_2,...,G_n\} Γ={G1,G2,...,Gn}的逻辑结果当且仅当 ( G 1 ∧ G 2 ∧ … ∧ G n ) → H (G_1\land G_2\land …\land G_n)\rightarrow H (G1G2Gn)H为永真式。

判定方法:

  • 真值表技术
  • 公式转换关系
  • 主析取范式法——永真式的主析取范式应该包含有所有的极小项

1.2 基本蕴涵关系

定理:

G , H , I G, H, I G,H,I 为任意的命题公式。

(1) I 1 : G ∧ H ⇒ G ; I 2 : G ∧ H ⇒ H I_{1}: G \wedge H \Rightarrow G ; \quad I_{2}: G \wedge H \Rightarrow H I1:GHG;I2:GHH. (简化规则)
(2) I 3 : G ⇒ G ∨ H ; I 4 : H ⇒ G ∨ H I_{3}: G \Rightarrow G \vee H ; \quad I_{4}: H \Rightarrow G \vee H I3:GGH;I4:HGH. (添加规则)
(3) I 5 : I , H ⇒ G ∧ H I_5: I, H \Rightarrow G \wedge H I5:I,HGH; (合取引入规则)
(4) I 6 : G ∨ H , ¬ G ⇒ H ; I 7 : G ∨ H , ¬ H ⇒ G I_{6}: G \vee H, \neg G \Rightarrow H ; \quad I_{7}: G \vee H, \neg H \Rightarrow G I6:GH,¬GH;I7:GH,¬HG. (选言三段论)
(5) I 8 : G → H , G ⇒ H I_{8}: G \rightarrow H, G \Rightarrow H I8:GH,GH; (假言推理规则)
(6) I 9 : G → H , ¬ H ⇒ ¬ G I_{9}: G \rightarrow H, \neg H \Rightarrow \neg G I9:GH,¬H¬G; (否定后件式)
(7) I 10 : G → H , H → I ⇒ G → I I_{10}: G \rightarrow H, H \rightarrow I \Rightarrow G \rightarrow I I10:GH,HIGI; (假言三段论)
(8) I 11 : G ∨ H , G → I , H → I ⇒ I I_{11}: G \vee H, G \rightarrow I, H \rightarrow I \Rightarrow I I11:GH,GI,HII (二难推论)

Example:

2. 基本演绎法

2.1 推理规则

规则P(称为前提引用规则):在推导的过程中,可以随时引入前提集合中的任意一个前提。

规则T(称为逻辑结果引用规则):在推导的过程中,可以随时引入公式S,该公式S是由其前的一个或者多个公式推导出来的逻辑结果。

规则CP(称为附加前提规则):如果能从给定的前提集合 Γ \Gamma Γ与公式P推导出来S,则能从前提集合 Γ \Gamma Γ推导出来S。

2.2 演绎法推论

2.2.1 自然演绎法

定义:

从前提集合 Γ \Gamma Γ推出结论 H H H的一个演绎是构造命题公式的一个有限序列: H 1 , H 2 , H 3 , . . . , H n − 1 , H n H_1, H_2, H_3,... ,H_{n-1},H_n H1,H2,H3,...,Hn1,Hn。其中, H i H_i Hi或者是 Γ \Gamma Γ中的某个前提,或者是前面的某些 H j ( j < i ) H_j(jHj(j<i)的有效结论,并且 H H H,就是 H H H,则称公式H为该演绎的有效结论,或者称从前提 Γ \Gamma Γ能够演绎出结论 H H H来。

2.2.2 演绎

2.2.2.1 直接证明法

通常采用倒推的方式:

2.2.2.2 CP规则
2.2.2.3 间接证明法

反证法、归谬法

反证法可以认为是CP规则的一种变型。

2.3 推理的应用

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