离散数学复习：命题逻辑的推理理论
命题逻辑的推理理论
1. 基本推理形式和蕴涵关系
1.1 基本推理形式
所谓推理，指的是从一组前提合乎逻辑地推理出结论的过程。在这里我们用命题公式来表达前提和结论。
定义：
设 G 1 , G 2 , . . . ， G n , H G_1, G_2,...，G_n, H G1,G2,...，Gn,H是公式，称 H H H是 G 1 , G 2 , . . . , G n G_1, G_2,... , G_n G1,G2,...,Gn的逻辑结果当且仅***当对任意解释 I I I，如果 I I I使得 G 1 ∧ G 2 ∧ . . . ∧ G n G_1 \land G_2\land...\land G_n G1∧G2∧...∧Gn为真，则 I I I也会使H为真。记为 G 1 , G 2 , . . . , G n ⇒ H G_1,G_2,... ,G_n\Rightarrow H G1,G2,...,Gn⇒H。**“ ⇒ \Rightarrow ⇒”称为蕴涵关系。此时称 G 1 , G 2 , . . . , G n ⇒ H G_1, G_2,... , G_n\Rightarrow H G1,G2,...,Gn⇒H为有效的，否则称为无效的。 G 1 , G 2 , . . . , G n G_1, G_2,... ,G_n G1,G2,...,Gn称为一组前提，有时用集合 Γ \Gamma Γ来表示，记为$\Gamma= {G_1, G_2,… ,G_n} ， ， ，H 称为结论。此时也称 称为结论。此时也称 称为结论。此时也称H 是前提集合 是前提集合 是前提集合\Gamma 的逻辑结果。记为 的逻辑结果。记为 的逻辑结果。记为\Gamma→H$。
公理：
公式 H H H是前提集合 Γ = { G 1 , G 2 , . . . , G n } \Gamma = \{G_1,G_2,...,G_n\} Γ={G1,G2,...,Gn}的逻辑结果当且仅当 ( G 1 ∧ G 2 ∧ … ∧ G n ) → H (G_1\land G_2\land …\land G_n)\rightarrow H (G1∧G2∧…∧Gn)→H为永真式。
判定方法：
- 真值表技术
- 公式转换关系
- 主析取范式法——永真式的主析取范式应该包含有所有的极小项
1.2 基本蕴涵关系
定理：
设 G , H , I G, H, I G,H,I 为任意的命题公式。
(1) I 1 : G ∧ H ⇒ G ; I 2 : G ∧ H ⇒ H I_{1}: G \wedge H \Rightarrow G ; \quad I_{2}: G \wedge H \Rightarrow H I1:G∧H⇒G;I2:G∧H⇒H. (简化规则)
(2) I 3 : G ⇒ G ∨ H ; I 4 : H ⇒ G ∨ H I_{3}: G \Rightarrow G \vee H ; \quad I_{4}: H \Rightarrow G \vee H I3:G⇒G∨H;I4:H⇒G∨H. (添加规则)
(3) I 5 : I , H ⇒ G ∧ H I_5: I, H \Rightarrow G \wedge H I5:I,H⇒G∧H; (合取引入规则)
(4) I 6 : G ∨ H , ¬ G ⇒ H ; I 7 : G ∨ H , ¬ H ⇒ G I_{6}: G \vee H, \neg G \Rightarrow H ; \quad I_{7}: G \vee H, \neg H \Rightarrow G I6:G∨H,¬G⇒H;I7:G∨H,¬H⇒G. (选言三段论)
(5) I 8 : G → H , G ⇒ H I_{8}: G \rightarrow H, G \Rightarrow H I8:G→H,G⇒H; (假言推理规则)
(6) I 9 : G → H , ¬ H ⇒ ¬ G I_{9}: G \rightarrow H, \neg H \Rightarrow \neg G I9:G→H,¬H⇒¬G; (否定后件式)
(7) I 10 : G → H , H → I ⇒ G → I I_{10}: G \rightarrow H, H \rightarrow I \Rightarrow G \rightarrow I I10:G→H,H→I⇒G→I; (假言三段论)
(8) I 11 : G ∨ H , G → I , H → I ⇒ I I_{11}: G \vee H, G \rightarrow I, H \rightarrow I \Rightarrow I I11:G∨H,G→I,H→I⇒I (二难推论)
Example：
2. 基本演绎法
2.1 推理规则
规则P（称为前提引用规则）：在推导的过程中，可以随时引入前提集合中的任意一个前提。
规则T（称为逻辑结果引用规则）：在推导的过程中，可以随时引入公式S，该公式S是由其前的一个或者多个公式推导出来的逻辑结果。
规则CP（称为附加前提规则）：如果能从给定的前提集合 Γ \Gamma Γ与公式P推导出来S，则能从前提集合 Γ \Gamma Γ推导出来S。
2.2 演绎法推论
2.2.1 自然演绎法
定义：
从前提集合 Γ \Gamma Γ推出结论 H H H的一个演绎是构造命题公式的一个有限序列： H 1 , H 2 , H 3 , . . . , H n − 1 , H n H_1, H_2, H_3,... ,H_{n-1},H_n H1,H2,H3,...,Hn−1,Hn。其中， H i H_i Hi或者是 Γ \Gamma Γ中的某个前提,或者是前面的某些 H j ( j < i ) H_j(j
2.2.2 演绎
2.2.2.1 直接证明法
通常采用倒推的方式：
2.2.2.2 CP规则
2.2.2.3 间接证明法
反证法、归谬法
反证法可以认为是CP规则的一种变型。