【算法】Partition Array for Maximum Sum 分隔数组以得到最大和

Partition Array for Maximum Sum 分隔数组以得到最大和

问题描述：

给你一个整数数组 arr，请你将该数组分隔为长度 最多 为 k 的一些（连续）子数组。分隔完成后，每个子数组的中的所有值都会变为该子数组中的最大值。

arr.length 范围[1,500]，arr[i]范围[0,10^9] ,k范围[1,arr.length]

分析

就是一个数组arr，对其计算和，可以将原始数组进行分割，分割成为若干的子数组，子数组的长度<=k,分割后的子数组的值都会变成该子数组中的最大值。
也就是说，应该存在一种分割，使得每个子数组都得到最大值，从而使得整个数组取的最大。
但是这样的分割是不确定的，长度可以是1，最大是k-1。
所以只能尝试传统的递归搜索，dfs(i) 表示以下标i为结尾时可以得到的最大和。

$DFS(i)={\max }_{j=\max (i-k,0)}^{i-1}\{DFS(j)+(i-j)\times {\max }_{p=j+1}^{i}arr[p]\}$
由于dfs的定义，所以可以将dfs(0)~dfs(k)的结果预处理，并作为边界。
最终的结果，就是dfs(n-1).
而整个dfs的时间复杂度是基于n的规模，时间复杂度很大，而中间又会出现非常多的重复，所以memo记忆化就可以上了。

既然可以通过dfs+memo递归回溯得到结果，那么正向的递推也可以。
f[i]表示下标i结尾的数组划分子数组后，可以得到的最大和。
$f[i]={\max }_{j=\max (i-k,0)}^{i-1}\{f(j)+(i-j)\times mx\}$
mx表示arr[j+1]~ arr[i]的最大值。
f[i] =max( f[j] + (i-j)*mx ) j<=i-1&&j>=i-k

代码

public int maxSumAfterPartitioning(int[] arr, int k) {
        int n = arr.length;
        int[] d = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int maxValue = arr[i - 1];
            for (int j = i - 1; j >= 0 && j >= i - k; j--) {
                d[i] = Math.max(d[i], d[j] + maxValue * (i - j));
                if (j > 0) {
                    maxValue = Math.max(maxValue, arr[j - 1]);
                }
            }
        }
        return d[n];
    }
 

时间复杂度 O(Nk)

空间复杂度： O(N)

Tag

Array Dynamic Programming