汉明码（Hamming Code）底层原理

汉明码（Hamming Code）底层原理

3Blue1Brown：Hamming Code【Part1】
3Blue1Brown：Hamming Code【Part2】

Hamming Code如何检查错误和定位错误？
检查错误通过奇校验或偶校验确定是否发生错误
定位错误通过依次对行和列进行偶校验确定错误在哪

假设图片为要发送的信息，发送时被编码为0与1的形式

将要发送的数据每11个比特组成一个chunks，每个chunk放入一个16位的block中

我们关注其中一个block，试着将11位信息填入其中
第一个11位信息为：00110001110，1个block中共16个位置，其中第0位作为整个block的偶校验位，第$2^0、2^1、2^2、2^3$ 作为chunk的校验位，其余位置依次填入11位信息
说明：16位组成一个block，除了校验位，其余信息位组成一个chunk

接下来，我们根据chunk中信息的情况，填入校验位（两行或两列的第一个方框中为校验位的所在位置）
第2列和第4列中一共有偶数个1，则第一个校验位填入0（偶校验）

第3列和第4列中一共有奇数个1，则第二个校验位填入1（偶校验，填入1后使得这两列1的个数变为偶数）

第2行和第4行中一共有奇数个1，则第4个校验位填入1（偶校验）

第3行和第4行中一共有奇数个1，则第8个校验位中填入1（偶校验）

整个block中1的个数为偶数个，第0位校验位填入0（偶校验）

所有的block填好后，就可以将信息发送给接收方了，在发送过程中可能会出现噪声，使得某些位由1变为0，或由0变为1，接收方通过校验位检查是否发生了错误？哪里出现了错误？

接收方接收到的信息中其中一个block如下

先检查第2列和第4列中是否出现错误，第2列和第4列通过了偶校验（8位中总共2个1）则错误不可能出现在第2列和第4列，而可能出现在第1列或第3列中

检查第3列和第4列中是否出现错误，第3列和第4列没有通过偶检验（8位中有5个1）说明第3列和第4列中的某一列出现错误

综合上述检查列的结论
第一次列检查的结论是：第1列或第3列中可能出现错误
第二次列检查的结论是：第3列或第4列中可能出现错误
综合以上列检查结论：第3列发生了错误

我们再检查行是否出现错误
检查第2行和第4行，8位中共6（偶数）个1，通过了偶校验，说明错误不可能出现在第2行或第4行，而错误出现在第1行或第3行

检查第3行和第4行，8位中共5（奇数）个1，未能通过偶校验，说明错误出现在第3行和第4行

综合上述检查行的结论：
第一次行检查的结论是：第1行或第3行中可能出现错误
第二次行检查的结论是：第3行或第4行中可能出现错误
综合以上行检查结论：第3行发生了错误
综合行检查和列检查：
列检查结论：第3列发生了错误
行检查结论：第3行发生了错误
最终结论：第3行第3列出现了错误

整个block中1的个数为奇数个，说明错误只有1个而不是2个，如果有3处错误或更多那就不知道了

纠正第3行第3列的错误还原原信息
除去校验位，依次取出信息位为 00110001110（与发送信息一致）

回顾一下上述操作
假设第7个方框内比特位出现了错误，通过4次偶检验则可以判断出错位置




四次校验的结果为0111，其对应的十进制是7，这里7就代表着发生错误的位置

将每个位置代表的数字写为二进制数，我们用二进制数来对错误位置进行定位，为什么要用二进制数，因为计算机用二进制0与1进行运算，电路开关也对应0与1

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二进制数中第一位为1的属于第一个偶校验组Q1

检查Q1时，似乎在问：发生错误的位置是否第一位为1？

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二进制数中第二位为1的属于第二个偶校验组Q2


检查Q2时，似乎在问：发生错误的位置是否第二位为1？

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二进制数中第三位为1的属于第三个偶校验组Q3

检查Q3时，似乎在问：发生错误的位置是否第三位为1？

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二进制数中第四位为1的属于第四个偶校验组Q4


检查Q4时，似乎在问：发生错误的位置是否第四位为1？

为什么奇偶校验位落在了第1、2、4、8等$2^k$的位置上？
二进制中只有1比特位的数字为1，不就是上述中在检查Q1、Q2、Q3、Q4吗？

这些位置恰好使得一个奇偶校验组中只有一个奇偶校验位
例如第$2^1$位置上有一个校验位，这是Q2中唯一一个校验位，其他校验组也一样，如果校验位落在$2^k$的位置上，则会确保一个校验组只有一个校验位

把所有信息为1所在位置的二进制数取出，做异或运算得到的结果就是出现错误的比特所在位置。为什么？

第一列异或时，相当于在问有多少高亮位置来自于第一个偶校验组Q1

第二列异或时，相当于在问有多少高亮位置来自于第二个偶校验组Q2，其他列类似

为什么异或结果可以告诉我们错误位置？
例如下图中是要发送的信息，如果将信息为1所在位置二进制做异或运算会得到0000

我们假设在传输过程中第12个位置的0变为了1，则接收方检查时，将所有信息为1的位置除了原来的1外还要加一个发生变化位置的1，这一加入使得异或结果不在是0000，而是它所在位置的二进制

这样Hamming Code的纠错机制最终转化为异或运算，当然Hamming Code缺点是只能发现和纠正一位错误
其他纠错码