【线性代数】

求解线性方程组

右乘向量/矩阵

把左边的矩阵拆成一个个列向量，右边的向量表示对左边列向量组的线性组合。

[ c o l 1 c o l 2 c o l 3 ] [ 3 4 5 ] = [ 3 c o l 1 + 4 c o l 2 + 5 c o l 3 ] \left[\begin{array}{c} col_{1} & col_{2} & col_{3} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} 3col_1+4col_2+5col_3 \end{array}\right] [col1​​col2​​col3​​] ​345​ ​=[3col1​+4col2​+5col3​​]

右边的矩阵：把左边的矩阵看作一个个列向量
第n行的第m列的数字k 表示结果的第n列采用左边矩阵的第m列乘以k

左乘向量/矩阵

[ 1 2 7 ] [ r o w 1 r o w 2 r o w 3 ] = [ 1 r o w 1 + 2 r o w 2 + 7 r o w 3 ] \left[\begin{array}{c} 1 & 2 & 7 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} row_1 \\ row_2 \\ row_3 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} 1row_1+2row_2+7row_3 \end{array}\right] [1​2​7​] ​row1​row2​row3​​ ​=[1row1​+2row2​+7row3​​]
左边的矩阵：把右边的矩阵看作一个个行向量
第n行的第m列的数字k 表示结果的第n行采用右边矩阵的第m行向量乘以k

结果特定行列位置的值

[ r o w 1 r o w 2 r o w 3 ] [ c o l 1 c o l 2 c o l 3 ] = [ r o w 1 c o l 1 r o w 1 c o l 2 r o w 1 c o l 3 r o w 2 c o l 1 r o w 2 c o l 2 r o w 2 c o l 3 r o w 3 c o l 1 r o w 3 c o l 2 r o w 3 c o l 3 ] \left[\begin{array}{c} row_1 \\ row_2 \\ row_3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} col_1 & col_2 & col_3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} row_1col_1 & row_1col_2 & row_1col_3 \\ row_2col_1 & row_2col_2 & row_2col_3 \\ row_3col_1 & row_3col_2 & row_3col_3 \end{array}\right] ​row1​row2​row3​​ ​[col1​​col2​​col3​​]= ​row1​col1​row2​col1​row3​col1​​row1​col2​row2​col2​row3​col2​​row1​col3​row2​col3​row3​col3​​ ​

矩阵乘法

AB=C
A是mxn矩阵，
B是nxp矩阵，
得到的C是mxp矩阵


第四种矩阵乘法运算，A的一列和B的一行相乘会得到一个完整的结果矩阵，把所有得到的矩阵加起来就是C


分块乘法也是一样的效果

逆矩阵

方阵的逆矩阵

矩阵的左逆和矩阵的右逆

如果一个非全0矩阵，乘一个A矩阵等于全0矩阵，那么这个A矩阵是不可逆的

反证法：假设A是可逆的，AX=0 两边同时乘以A的逆，得到X=0
与前面的X是非全0矩阵冲突

求逆矩阵

有两种方法，

1. 和求解线性方程组一样，一个个求解线性方程组，用消元法慢慢消，然后再回代
2. Gauss-Jordan高斯-若尔当消元方法，同时求解多个线性方程组
   
   
   高斯-若尔当消元法的证明：
   
   初始状态【A I】
   做的消元步骤，相当于乘了一个E矩阵
   EA = I 所以E就是A的逆矩阵
   右侧的I乘E，得到E
   所以结果就是【I E】 也就是【I A的逆】