求最小生成树（Kruskal算法和Prim算法）

目录

一、前言

二、相关概念

1、最小生成树

2、Prim算法（对结点进行操作）

3、kruskal 算法（对边进行操作）

三、例题

1、修建公路（lanqiaoOJ题号1124）

1、Prim算法题解

2、Kruskal算法

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一、前言

很久没更新了蓝桥杯算法栏目了，明天国赛了，浅更新一下，求最小生成树，相信大家都会，本文带大家来回顾一下这两个非常简单好用的算法。（贵在理解算法逻辑，代码什么的都是次要）

二、相关概念

1、最小生成树

• 在无向图中，连通而且不含有圈（环路）的图，称为树。
• 最小生成树MST：一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，包含原图中的所有n个结点，并旦边的权值之和最小。
• 两种算法：prim、kruskal

2、Prim算法（对结点进行操作）

• 对点进行贪心操作：“最近的邻居一定在 MST 上”。
• 从任意一个点 u 开始，把距离它最近的点 v 加入到 MST 中；下一步，把距离 {u, v} 最近的点 w 加入到 MST 中；继续这个过程，直到所有点都在 MST 中。

补充：1956年，Dijkstra在一篇论文中同时提出了这两个算法，两个算法的思想基本一样，都是基于贪心法来扩展结点，执行步骤十分相似，代码只有微小差别。

3、kruskal 算法（对边进行操作）

• 对边进行贪心操作：“最短的边一定在 MST 上”。
• 从最短的边开始，把它加入到 MST 中；在剩下的边中找最短的边，加入到 MST 中；继续这个过程，直到所有点都在 MST 中。

补充：

kruskal 算法的 2 个关键技术：

1）对边进行排序。

2）判断圈，即处理连通性问题。这个问题用并查集简单而高效，并查集是 kruskal 算法的实现基础。

三、例题

1、修建公路（lanqiaoOJ题号1124）

链接：用户登录

可能部分同学没办法进入到链接刷这道题，我把题目放上来。

题目描述

L 城一共有 N 个小区。

小明是城市建设的规划者，他计划在城市修 M 条路，每修建一条路都要支付工人们相应的工钱（需要支付的工钱 == 路的长度）。

然而小明所拿到的经费并不够支付修建 M 条路的工钱，于是迫于无奈，他只能将计划改变为修建若干条路，使得 N 个小区之间两两联通。

小明希望尽量剩下更多的经费投入到别的项目中，因此请你通过程序帮他计算出完成计划所需的最低开销。

输入描述

输入第一行包含三个正整数 N,M。

第 2 到 M+1 行每行包含三个正整数 u, v, w，表示 u↔v 之间存在一条距离为 w 的路。

1≤N≤10^5，0≤m≤3×10^5，1≤ui​,vi​≤N，0≤wi​≤10^9。

输出描述

输出占一行，包含一个整数，表示完成计划所需的最低开销。

若无法完成计划，则输出 −1。

输入输出样例

输入：

5 6
1 2 2
1 3 7
1 4 6
2 3 1
3 4 3
3 5 2

输出：

8

运行限制

• 最大运行时间：3s
• 最大运行内存：256M

1、Prim算法题解

python代码（AC）：

import sys
from heapq import *
input=sys.stdin.readline

def prim():
    ans,cnt=0,0
    q=[]
    vis=[False for _ in range(n+1)]
    heappush(q,(0,1))
    while q and cnt

2、Kruskal算法

python代码（AC）：

import sys
input=sys.stdin.readline

def init():
    for i in range(n+1):
        s.append(i)

def find(x):
    if s[x]==x:
        return x
    s[x]=find(s[x])
    return s[x]

def kruskal():
    cnt=0
    ans=0
    e.sort(key=lambda tup:tup[2])
    init()
    for i in range(m):
        x,y=e[i][0],e[i][1]
        e1,e2=find(x),find(y)
        if e1==e2:
            continue
        ans+=e[i][2]
        s[find(y)]=find(x)
        cnt+=1
        if cnt==n-1:
            break
    if cnt!=n-1:
        print(-1)
    else:
        print(ans)

e=[]
s=[]
n,m=map(int,input().split())       #顶点数，边数
for i in range(m):
    u,v,w=map(int,input().split())
    e.append((u,v,w))
kruskal()

根据这一题相信大家都能很好的理解Prim和Kruskal算法。

以上，求最小生成树（Kruskal算法和Prim算法）

煮好！