统计|如何简单理解单因素方差分析

本博文源于《商务统计》，主要探讨如何理解单因素方差分析。首先可以很确定的说方差分析不是针对方差来做分析。

引例：消费者协会对不同企业的服务水平进行点差，测得23家投诉次数如下：

散点图讲解

• 圆点就是样本投诉服务次数
• X代表行业内的投诉次数的平均值
• 水平虚线代表整体的平均值
• 折线就是将组内平均值连起来

图中的数据在下面每一个都会使用到

方差分析简要介绍

• 检验多个总体均值是否相等
• 研究分类型自变量对数值型因变量的影响
• 方差分析分为单因素方差与双因素方差分析，涉及分类变量数量。单因素只研究一种分类自变量，双因素研究两个分类自变量

题目中的分析目标

分析四个行业的服务质量是否有显著差异，也就是要判断“行业”对投诉次数
是否有显著影响。转化为数学形式就是研究四个行业投诉次数的均值是否相等。

方差分析的相关术语

1. 因素或因子：所要检验的对象
2. 水平或处理：因子的不同表现
3. 观察值：在每个因素水平得到的样本数据

这里：分析行业对投诉次数的影响，行业就是要检验的因子。服务行业的类别就是因子的不同表现。每个行业被投诉的次数就是观察值。

方差分析中误差平方和SS

数据的误差用平方和来表示

• 组内平方和:因素的同一水平下数据误差的平方和
• 组间平方和:因素的不同水平之间数据误差的平方和

方差分析的基本假定

• 每个总体都应服从正态分布
• 各个总体的方差相同
• 观察值是独立的

方差分析假设

$$\begin{gathered} H_0:{\mu }_1={\mu }_2={\mu }_3={\mu }_4 \\ {H}_1:{\mu }_i(i=1,2,3,4)不全相等 \end{gathered}$$

构造检验的统计量

这里就把引例中的散点图具体数据计算完毕，组内平均值和组间平均值都一一计算。

总平方和(波动)SST

X上面两横是样本总平均值，总平方和的含义就是全部观察值与总平均值的离差平方和。
计算引例中的总平方和如下

组件平方和(组间波动)SSA

含义是组内平均值与总平方均值的离差平方和。

组内平方和(组内波动)SSE

组内平方和就是组里的数据与组内均值的离差平方和

三个平方和的关系

SST=SSA+SSE

组内均方与组间均方

组内均方SSA，记为MSA，计算公式
$$MSA=\frac{SSA}{k-1}$$
组间均方SSE，记为MSE，计算公式
$$MSE=\frac{SSE}{n-k}$$

• n是指的是所有样本的数量，引例中是23
• k就是水平，引例中的行业数4

$$\begin{gathered} MSA=\frac{1456.608696}{4-1}=485.536232 \\ MSE=\frac{2708}{23-4}=142.526314 \end{gathered}$$

F统计量

组内均方比上组间均方是服从F分布的，因此F统计量的构建是下面这样子的
$$F=\frac{MSA}{MSE}\sim F(k-1,n-k)$$

单因素方差分析表

统计量计算与决策

理论值F cirt>F值，可以拒绝原假设，也可以因为P值足够小可以拒绝原假设

总结

单因素方差分析不是比较方差，而是比较均值是否相等。