高数学习笔记1——数列的极限

数列极限的定义

    若存在>0（注：贼小，但是要大于零），且有n>N(N为正整数），使得|Xn - a|<恒成立，则称a为数列{Xn}的极限或数列{Xn}收敛于a；反之数列{Xn}是发散的。

数列与子数列的关系：

1、（原）数列为{Xn}：

2、子数列：取原数列的无穷多项，按原来的先后顺序组成新的数列，则该数列为原数列的子数列。    

    注：一个原函数有无穷多个子数列。

3、当原函数为收敛数列，且收敛于a，则所有的子数列也收敛于a。

4、（用于证明数列的存在问题）若一个原数列的两个子数列收敛于不同值，则该数列不存在。

数列的三大性质

1、唯一性

    当=a，则a是唯一的。

2、有界性

    当数列存在极限a时，则数列有界。

3、保号性（重点）

    当n>i(大于零的任意值)时，数列的值大于零（或小于零）；则数列收敛时，数列{}也大于零（或者小于零）。

数列的计算法则

1、运算法则

    设=a，=b。

    a、=ab.

    b、=ab。

    c、（b0，0） 

2、单调有界法则（必须是收敛函数）

        a、单调递增数列必有上界。

        b、单调递减数列必有下界。

        释：收敛与单调：

        如凸函数单调递增部分比作数列时，其为收敛函数，收敛于凸函数的最大值，则有上界；而凹函数单调递增部分，虽为递增数列，但为发散函数，无界限。下界同理反之即可。

3、夹逼定理

    

    当无法直接求出为k时，增明即可。