【月度刷题活动同款】与位运算结合的简单贪心题

题目描述

这是 LeetCode 上的 397. 整数替换 ，难度为 中等。

Tag : 「DFS」、「BFS」、「贪心」

给定一个正整数 n ，你可以做如下操作：

1. 如果 n 是偶数，则用  n / 2 替换 n 。
2. 如果 n 是奇数，则可以用 n + 1 或 n - 1 替换 n 。

n 变为 $1$ 所需的最小替换次数是多少？

 示例 1：

输入：n = 8

输出：3

解释：8 -> 4 -> 2 -> 1

示例 2：

输入：n = 7

输出：4

解释：7 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
或 7 -> 6 -> 3 -> 2 -> 1

示例 3：

输入：n = 4

输出：2

提示：

• $1 <= n <= 2^{31} - 1$

DFS

运用 DFS 进行求解。为防止重复处理某些数值，可以使用「哈希表」进行记忆化。

代码：

class Solution {
    Map map = new HashMap<>();
    public int integerReplacement(int n) {
        return dfs(n * 1L);
    }
    int dfs(long n) {
        if (n == 1) return 0;
        if (map.containsKey(n)) return map.get(n);
        int ans = n % 2 == 0 ? dfs(n / 2) : Math.min(dfs(n + 1), dfs(n - 1));
        map.put(n, ++ans);
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：$O(\log{n})$
• 空间复杂度：$O(\log{n})$

BFS

同理，也可以使用 BFS 进行求解。同样使用「哈希表」记录步数，进行防止重复处理。

代码：

class Solution {
    public int integerReplacement(int n) {
        if (n == 1) return 0;
        Map map = new HashMap<>();
        Deque d = new ArrayDeque<>();
        d.addLast(n * 1L);
        map.put(n * 1L, 0);
        while (!d.isEmpty()) {
            long t = d.pollFirst();
            int step = map.get(t);
            long[] ns = t % 2 == 0 ? new long[]{t / 2} : new long[]{t + 1, t - 1};
            for (long x : ns) {
                if (x == 1) return step + 1;
                if (!map.containsKey(x)) {
                    map.put(x, step + 1);
                    d.addLast(x);
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}

• 时间复杂度：$O(\log{n})$
• 空间复杂度：$O(\log{n})$

贪心（位运算）

上述两种做法，我们不可避免地在每个回合枚举了所有我们可以做的决策：主要体现在对 $x$ 为奇数时的处理，我们总是处理 $x + 1$ 和 $x - 1$ 两种情况。

我们可以从二进制的角度进行分析：给定起始值 $n$，求解将其变为 $(000...0001)_2$ 的最小步数。

• 对于偶数（二进制最低位为 $0$）而言，我们只能进行一种操作，其作用是将当前值 $x$ 其进行一个单位的右移；

• 对于奇数（二进制最低位为 $1$）而言，我们能够进行 +1 或 -1 操作，分析两种操作为 $x$ 产生的影响：

  • 对于 +1 操作而言：最低位必然为 $1$，此时如果次低位为 $0$ 的话， +1 相当于将最低位和次低位交换；如果次低位为 $1$ 的话，+1 操作将将「从最低位开始，连续一段的 $1$」进行消除（置零），并在连续一段的高一位添加一个 $1$；
  • 对于 -1 操作而言：最低位必然为 $1$，其作用是将最低位的 $1$ 进行消除。

因此，对于 $x$ 为奇数所能执行的两种操作，+1 能够消除连续一段的 $1$，只要次低位为 $1$（存在连续段），应当优先使用 +1 操作，但需要注意边界 $x = 3$ 时的情况（此时选择 -1 操作）。

代码：

class Solution {
    public int integerReplacement(int _n) {
        long n = _n;
        int ans = 0;
        while (n != 1) {
            if (n % 2 == 0) {
                n >>= 1;
            } else {
                if (n != 3 && ((n >> 1) & 1) == 1) n++;
                else n--;
            }
            ans++;
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：$O(\log{n})$
• 空间复杂度：$O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.397 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSou... 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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