数据结构和算法七

剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

题目：写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：
                   F(0) = 0, F(1) = 1
                   F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：
       输入：n = 2
       输出：1
示例 2：
       输入：n = 5
       输出：5

/*解题思路：
	斐波那契数列的定义是f(n+1)=f(n)+f(n−1)，生成第 nn 项的做法有以下几种：
递归法：
    原理：把f(n)问题的计算拆分成f(n−1)和f(n-2)两个子问题的计算，并递归，以f(0)和f(1)为终止条件。
    缺点：大量重复的递归计算，例如f(n)和f(n−1)两者向下递归需要各自计算f(n−2)的值。
记忆化递归法：
	原理：在递归法的基础上，新建一个长度为n的数组，用于在递归时存储f(0)至f(n)的数字值，重复遇到某数字则直接从数组取用，避免了重复的	递归计算。
	缺点：记忆化存储需要使用O(N)的额外空间。
动态规划：
    原理：以斐波那契数列性质f(n+1)=f(n)+f(n−1)为转移方程。
    从计算效率、空间复杂度上看，动态规划是本题的最佳解法。
动态规划解析：
    1、状态定义：设dp为一维数组，其中dp[i]的值代表斐波那契数列第i个数字。
    2、转移方程：dp[i+1]=dp[i]+dp[i−1]，即对应数列定义f(n+1)=f(n)+f(n−1)；
    3、初始状态：dp[0]= 0, dp[1] = 1，即初始化前两个数字；
    4、返回值：dp[n]，即斐波那契数列的第n个数字。
空间复杂度优化：
	1、若新建长度为n的dp列表，则空间复杂度为O(N)。
	2、由于dp列表第i项只与第i−1和第i−2项有关，因此只需要初始化三个整形变量 sum, a, b ，利用辅助变量sum使a,b两数字交替前进即可     （具体实现见代码）。
	3、节省了dp列表空间，因此空间复杂度降至O(1) 。
*/

下图帮助理解递归法的 “重复计算” 概念。

/*循环求余法：
	1、大数越界：随着n增大,f(n)会超过Int32甚至Int64的取值范围，导致最终的返回值错误。
	2、求余运算规则：设正整数x,y,p，求余符号为⊙，则有(x+y)⊙p=(x⊙p+y⊙p)⊙p。
解析：根据以上规则，可推出f(n)⊙p=[f(n−1)⊙p+f(n−2)⊙p]⊙p ，从而可以在循环过程中每次计算sum=(a+b)⊙1000000007，此操作与最终返回前取余等价。
复杂度分析：
时间复杂度O(N)：计算f(n)需循环n次，每轮循环内计算操作使用O(1)。
空间复杂度O(1)：几个标志变量使用常数大小的额外空间。
*/
class Method{
    public int fib(int n) {
        int a = 0, b = 1, sum;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            sum = (a + b) % 1000000007;
            a = b;
            b = sum;
        }
        return a;
    }
}

剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

题目：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
示例 1：
        输入：n = 2
        输出：2
示例 2：
        输入：n = 7
        输出：21
示例 3：
        输入：n = 0
        输出：1
提示：
        0 <= n <= 100

/*
解题思路：
	1、此类求多少种可能性的题目一般都有递推性质，即f(n)和f(n−1)…f(1)之间是有联系的。
	2、设跳上n级台阶有f(n)种跳法。在所有跳法中，青蛙的最后一步只有两种情况：跳上1级或2级台阶。
		（1）当为1级台阶：剩n−1个台阶，此情况共有f(n−1)种跳法；
		（2）当为2级台阶：剩n−2个台阶，此情况共有f(n−2)种跳法。
	3、f(n)为以上两种情况之和，即f(n)=f(n−1)+f(n−2)，以上递推性质为斐波那契数列。本题可转化为 求斐波那契数列第n项的值，与面试题10-I. 斐波那契数列等价，唯一的不同在于起始数字不同。
		（1）青蛙跳台阶问题：f(0)=1,f(1)=1,f(2)=2；
		（2）斐波那契数列问题：f(0)=0,f(1)=1,f(2)=1。
斐波那契数列的定义是f(n+1)=f(n)+f(n−1)，生成第n项的做法有以下几种：
递归法：
    原理：把f(n)问题的计算拆分成f(n−1)和f(n−2)两个子问题的计算，并递归，以f(0)和f(1)为终止条件。
    缺点：大量重复的递归计算，例如f(n)和f(n−1)两者向下递归都需要计算f(n−2)的值。
记忆化递归法：
	原理：在递归法的基础上，新建一个长度为n的数组，用于在递归时存储f(0)至f(n)的数字值，重复遇到某数字时则直接从数组取用，避免了重复的递归计算。
	缺点：记忆化存储的数组需要使用O(N)的额外空间。
动态规划：
	原理：以斐波那契数列性质f(n+1)=f(n)+f(n−1)为转移方程。从计算效率、空间复杂度上看，动态规划是本题的最佳解法。
动态规划解析：
	1、状态定义：设dp为一维数组，其中dp[i]的值代表斐波那契数列第$i$个数字 。
	2、转移方程：dp[i+1]=dp[i]+dp[i−1]，即对应数列定义f(n+1)=f(n)+f(n−1)；
	3、初始状态：dp[0]=1,dp[1]=1，即初始化前两个数字；
	4、返回值：dp[n]，即斐波那契数列的第n个数字.
空间复杂度优化：
	1、若新建长度为n的dp列表，则空间复杂度为O(N)。
	2、由于dp列表第i项只与第i−1和第i−2项有关，因此只需要初始化三个整形变量sum,a,b,利用辅助变量sum使a,b两数字交替前进即可（具体	    实现见代码）。
	3、因为节省了dp列表空间，因此空间复杂度降至O(1) 。
*/

实现思路原理图：

/*循环求余法：
	1、大数越界：随着n增大,f(n)会超过Int32甚至Int64的取值范围，导致最终的返回值错误。
	2、求余运算规则：设正整数x,y,p，求余符号为⊙，则有(x+y)⊙p=(x⊙p+y⊙p)⊙p。
解析：根据以上规则，可推出f(n)⊙p=[f(n−1)⊙p+f(n−2)⊙p]⊙p，从而可以在循环过程中每次计算sum=a+b⊙1000000007，此操作与最终返回前取余等价。
复杂度分析：
    时间复杂度O(N)：计算f(n)需循环n次，每轮循环内计算操作使用O(1) 。
    空间复杂度O(1)：几个标志变量使用常数大小的额外空间。
*/
class Method{
    public int numWays(int n) {
        int a = 1, b = 1, sum;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            sum = (a + b) % 1000000007;
            a = b;
            b = sum;
        }
        return a;
    }
}

总结：

首先，我要感谢各位小伙伴们！感谢你们能够在百忙之中抽时间来看我写的CSDN的博客，也不知道有没有对小伙伴们起到一些帮助呢？目前我所写的8篇文章已经被400多名小伙伴访问过了！在后续，我将持续更新！坚持每天发一篇！你们的访问是我前进的动力！愿小伙伴们都能有所收获！也愿我们都能够在互联网的行业中愈走愈远！一起加油！