输入信号、冲激响应与卷积

输入信号与冲激响应的离散卷积

系统冲激响应：
$$h(t)=\sum _{\tau =0}^{\infty }x(t)\delta (t-\tau )$$

上式中$h(t)$是冲激信号输入到系统后系统的输出，也是系统对外在激励信号的响应模式，这种模式不随外在激励信号的改变而改变，是系统的固有属性。

系统的单位冲激响应等价于系统传递函数。

如何理解输入信号与冲激响应的离散卷积？
先说结论：输入信号和系统冲激响应的卷积的本质是历史时刻的输入信号与对应时刻的冲激响应乘积的累加和。

输入信号 $x(t)$，离散形式 $x[n]$

系统冲激响应：$h(t)$，离散形式 $h[n]$

则离散形式下输入信号和系统冲击响应的卷积：$y[n]=x[n]\ast h[n]={\sum }_{k=0}^{\infty }x[k]h[n-k]$

上式中$x[k]$表示输入信号在经过 $k$ 时间后的状态，$h[n-k]$表示冲击响应在经过$n-k$ 时间后的响应/输出，而 $k$ 时刻的输入信号经过系统处理在 $n$ 时刻输出时，刚好需要 $n-k$ 这么长的时间，故$x[k]h[n-k]$ 可以理解为时刻 $k$ 的输入信号发展到观测时刻 $n$ 时的状态/输出，且信号的变化/发展规律满足系统冲击响应的规律(系统固有属性)，只不过这个冲激信号发生于 $k$时刻。

整个公式展开看， $n$ 时刻的系统输出是输入信号从0时刻开始，每个时刻按照冲击响应的变化规律独立输出，并在 $n$ 时刻叠加形成的，也即结论：输入信号和系统冲激响应的卷积的本质是历史时刻的输入信号与对应时刻的冲激响应乘积的累加和。

理解 $h[n-k]$表示冲击响应在经过$n-k$ 时间后的响应/输出 对理解上述理论逻辑非常重要，$n-k$ 并不表示具体时刻，而是表示信号在系统中的时长。所以 $k$ 时刻的输入信号在 $n$ 时刻的输出就需要经过 $n-k$ 的时长， 而 $n$ 时刻的完整输出是所有历史时刻信号在 $n$ 时刻的输出的叠加。

举一个简单的例子：
$x[0]=a,x[1]=b,x[2]=c$
$h[0]=i,h[1]=j,h[2]=k$
则
$y[2]=x[2]\ast h[2]=x[0]h[2]+x[1]h[1]+x[2]h[0]=ak+bj+ci$
其中 $x[0]h[2]$表示第0时刻的信号传递两个单位时长后到达2时刻输出，则对应的冲激响应为h[2]，以此类推。
扩展一下，系统的冲激响应一般都是缓慢衰减至0的，时间可以延展到无穷，则上边的例子中，假设输入信号到2时刻截止，3时刻及以后都是0，但冲激响应却一直都存在具体数值，则可以通过卷积计算出任意时刻的系统输出。

参考：https://www.cnblogs.com/jva-index/p/13874969.html