流体力学

一、概述

流体力学是研究流体宏观平衡和运动规律的一门学科,是力学的一个分支。其研究的对象包括液体和气体,统称流体。

二、研究方法

分为三个方面:理论分析法、实验方法、数值分析方法。

三、流体连续介质假设

从分子角度看,流体之间总是存在间隙,其质量在空间的分布是不连续的,其运动在时间和空间上都是不连续的。为了准确描述大量分子的统计平均特性的空间分布,如密度、压力和温度的空间分布等,为此建立流体质点的概念。建立流体质点之后,可认为流体内的每一点都被占据,中间无空隙,因此流体的任意物理参数(密度、压力、速度等)都可表示为空间坐标和时间的连续函数,且都是连续可微函数。

\rho =\rho \left ( x,y,z,t\right )

v=v\left (x,y,z,t \right )

p=p\left ( x,y,z,t \right )

该假设除稀薄气体和激波等少数情况外的大多数场合都是适用的。

四、流体的密度、比体积和相对密度

密度: \rho =\lim_{\Delta V\rightarrow 0 }\frac{\Delta m}{\Delta V}=\frac{\mathrm{d}m }{\mathrm{d} V}

比体积:       \upsilon =\frac{1}{\rho }

相对密度:  d=\frac{\rho }{\rho _{w}}

水的相对密度为1,水银的相对密度为13.6

五、流体的主要物理特性

1.压缩性

通常以体积压缩率来表示,表示温度不变的情况下,单位压强增量引起的流体体积的相对变化量。

体积压缩率:  \kappa =\lim_ {\Delta \rightarrow 0}\frac{-\Delta V/V}{\Delta p}=-\frac{1}{ V}\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} p}

体积模量: K=\frac{1}{\kappa }=-V\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} V}

流体力学_第1张图片

2.膨胀性

通常用膨胀体膨胀系数来表示,表示压强不变的情况下,单位温度升高所引起的流体体积相对变化量。

\alpha _{v}=\frac{1}{V}\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}

流体力学_第2张图片

3.粘性

(1)粘性是流体抵抗剪切变形的一种属性,是流体运动时内部流层之间产生切应力(内摩擦力)的性质。

v=\frac{U}{h}y

流体力学_第3张图片

因为各流层速度不同,流体层之间会出现相对运动,产生的切向作用力称为内摩擦力。作用在两流体层接触面上的内摩擦力总是成对出现且大小相等,方向相反,分别作用在相对的流层上。

(2)牛顿内摩擦定律:据牛顿平板实验的结果,作用在上平板的力的大小与垂直于流动方向的速度梯度成正比,与接触面的面积成正比,并与流体的物理属性(粘度)有关,而与接触面的压强无关。

F=\mu A\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} h}

流体层间单位面积上的内摩擦力称为粘性切应力:

\imath =\frac{F}{A}=\mu \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} h}

(3)粘度:表征流体粘性大小的物理量。

压强和温度对流体的粘性都有影响。压强的加大将使分子间的距离减小,粘度增大;温度升高时,流体分子间的距离增加,液体粘度减小,气体分子的不规则运动加剧,动量交换更加频繁,气体的粘度将增大。

六、流体模型分类

1.无粘性流体和粘性流体

真实的流体具有粘性。若研究流体力学问题时不考虑粘度对流体流动的影响,则把这样的流体称为无粘性流体,需要考虑粘度对流体的影响的流体称为粘性流体。

2.可压缩流体和不可压缩流体

(1)液体可压缩性很小,完全可以忽略。其他液体与水相似,因此一般情况下液体作为均质不可压缩流体模型处理,即认为密度为常数。

(2)气体在没有热交换的情况下做低速流动时,密度变化的影响可以忽略不计。

(3)即无粘性又不可压缩的流体称为理想流体。

七、流体力学中的三大基本方程

1.连续性微分方程

理论依据:质量守恒定律在微元体中的应用。

数学描述:[单位时间流出的质量]-[单位时间流入的质量]+[单位时间质量的累积或者增量]=0

公式推导:

(1)单位时间内流入、流出微原体流体总质量变化
假定流体连续地充满整个流场,从中任取出以O'(x,y,z)点为中心的微小六面体空间作为控制体。控制体的边长为dx,dy,dz,分别平行于直角坐标轴x,y,z。设控制体的中心点处流速的三个分量为v_{x},v_{y},v_{z},液体密度为\rho。将各流速分量按泰勒级数展开,并略去高阶微量,可得到该时刻通过控制体六个面表面中心点的流体质点的运动速度。例如:通过控制体前表面中心点M的质点在x方向的分速度为

v_{x}+\frac{1}{2}\frac{\partial v _{x}}{\partial x}dx

通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为

v_{x}-\frac{1}{2}\frac{\partial v _{x}}{\partial x}dx

流体力学_第4张图片

因所取控制体无限小,故认为在其各表面上的流速均匀分布。

所以单位时间内沿x轴方向

流入控制体的质量为                       \left [ \rho v_{x}-\frac{1}{2}\frac{\partial \left ( \rho v_{x} \right )}{\partial x} dx\right ]dydz

流出控制体的质量为                       \left [ \rho v_{x}+\frac{1}{2}\frac{\partial \left ( \rho v_{x} \right )}{\partial x} dx\right ]dydz

于是,单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量之差为

\left [ \rho v_{x}-\frac{1}{2}\frac{\partial \left ( \rho v_{x} \right )}{\partial x} dx\right ]dydz-\left [ \rho v_{x}+\frac{1}{2}\frac{\partial \left ( \rho v_{x} \right )}{\partial x} dx\right ]dydz=\frac{\partial\left ( \rho v_{x} \right ) }{\partial x}dxdydz

同理可得在单位时间内沿y,z方向流出与流入控制体的质量之差为

\frac{\partial\left ( \rho v_{y} \right ) }{\partial y}dxdydz
\frac{\partial\left ( \rho v_{z} \right ) }{\partial z}dxdydz

故单位时间内流入流出微元体流体的质量总变化为

\left [\frac{\partial\left ( \rho v_{x} \right ) }{\partial x} +\frac{\partial\left ( \rho v_{y} \right ) }{\partial y}+\frac{\partial\left ( \rho v_{z} \right ) }{\partial z} \right ]dxdydz

(2)控制体内质量变化

由于控制体是固定的,质量变化是因密度变化引起的,dt时间内:

\left ( \rho +\frac{\partial \rho }{\partial t } dt\right )dxdydz-\rho dxdydz=\frac{\partial \rho }{\partial t}dtdxdydz

单位时间内,微元体质量增量为

\frac{\partial \rho }{\partial t}dtdxdydz/dt=\frac{\partial \rho }{\partial t}dxdydz

(微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积)

(3)根据连续性条件

\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial\left ( \rho v_{x} \right ) }{\partial x} +\frac{\partial\left ( \rho v_{y} \right ) }{\partial y}+\frac{\partial\left ( \rho v_{z} \right ) }{\partial z} =0

矢量形式: (三维连续性微分方程)     

                    \frac{\partial \rho }{\partial t}+\triangledown \cdot \rho\vec{v}=0

(1)适用条件:不可压缩和可压缩流体、理想和实际流体、稳态和非稳态流动

(2)不可压缩性流体的连续性微分方程:

\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+\frac{\partial v_{z} }{\partial x}=0

说明流体变形率为零,即流体不可压缩或者流入体积流量与流出体积流量相等。

(3)稳定流动时:所有流体物体性质参数均不随时间而改变。

\frac{\partial \rho }{\partial t}=0

\frac{\partial\left ( \rho v_{x} \right ) }{\partial x} +\frac{\partial\left ( \rho v_{y} \right ) }{\partial y}+\frac{\partial\left ( \rho v_{z} \right ) }{\partial z} =0

\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+\frac{\partial v_{z} }{\partial x}=0

2.理想流体的运动方程

理论依据:牛顿第二定律在流体力学上的具体应用,建立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。

推导过程:

(1)取微小六面控制体

(2)推导依据:

牛顿第二定律或者动量定理:作用力之合力=动量随时间的变化速率

\sum \vec{F}=m\vec{a}=m\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} \left ( m\vec{v} \right )}{\mathrm{d} t}

(3)分析受力:

a.质量力:是某种力场作用在全部流体质点上的力,其大小和流体的质量或体积成正比。

\rho dxdydz\vec{f}

单位质量力:

\vec{f}=f_{x}\vec{i}+f_{y}\vec{j}+f_{z}\vec{k}

x方向上所受到的质量力:

\rho f_{x}dxdydz

b.表面力:理想流体,没有粘性,所以表面力只有压力

概念:作用在所研究流体外表面上与表面积大小成正比的力,表面力与流体的表面积成正比。作用于流体中任一微小表面上的力又可分为两类,即垂直于表面的力和平行于表面的力。前者为压力,后者为剪力(切力)。静止流体只受到压力的作用,而流动流体则同时受到两类表面力的作用。表面力可以分为沿表面内法向的法向分力和沿着表面切向的摩擦力。

x方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为:

p_{M}=p-\frac{\partial p }{\partial x}\frac{dx}{2}

p_{N}=p+\frac{\partial p}{\partial x}\frac{dx}{2}

x方向上质点所受所受到表面力合力:

\left ( p_{M} -p_{N}\right )dydz=-\frac{\partial p}{\partial x}dxdydz

c.流体质点加速度\vec{a}的计算方法即流速的全导数:

由于

\vec{v}=\vec{v}\left ( x,y,z,t \right )

x=f\left ( t \right )

y=f\left ( t \right )

z=f\left ( t \right )

所以流体质点的加速度即流速的全导数为

\vec{a}=\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial x}\frac{\partial x }{\partial t}+\frac{\partial \vec{v} }{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial \vec{v}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}+\frac{\partial \vec{v} }{\partial t}

流体质点加速度\vec{a}在三个坐标轴上的分量分别为

\vec{a_{x}}=\frac{\mathrm{d} \vec{v_{x}}}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial \vec{v_{x}}}{\partial x}\frac{\partial x }{\partial t}+\frac{\partial \vec{v_{x}} }{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial \vec{v_{x}}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}+\frac{\partial \vec{v_{x}} }{\partial t}

\vec{a_{y}}=\frac{\mathrm{d} \vec{v_{y}}}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial \vec{v_{y}}}{\partial x}\frac{\partial x }{\partial t}+\frac{\partial \vec{v_{y}} }{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial \vec{v_{y}}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}+\frac{\partial \vec{v_{y}} }{\partial t}

\vec{a_{z}}=\frac{\mathrm{d} \vec{v_{z}}}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial \vec{v_{z}}}{\partial x}\frac{\partial x }{\partial t}+\frac{\partial \vec{v_{z}} }{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial \vec{v_{z}}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}+\frac{\partial \vec{v_{z}} }{\partial t}

流体力学_第5张图片

(4)代入牛顿第二定律求得运动方程:

得x方向上的运动微分方程:

\rho \frac{\mathrm{d} v_{x}}{\mathrm{d} t}dxdydz=-\frac{\partial \rho }{\partial x}dxdydz+\rho f_{x}dxdydz

单位体积流体的运动微分方程:

\rho \frac{\mathrm{d} v_{x}}{\mathrm{d} t}=-\frac{\partial \rho }{\partial x}+\rho f_{x}

单位质量流体的运动微分方程:

\frac{\mathrm{d} v_{x}}{\mathrm{d} t}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial \rho }{\partial x}+f_{x}

同理可以得到y,z方向上的:

\frac{\mathrm{d} v_{y}}{\mathrm{d} t}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial \rho }{\partial y}+f_{y}

\frac{\mathrm{d} v_{z}}{\mathrm{d} t}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial \rho }{\partial z}+f_{z}

向量形式:

\frac{\partial v}{\partial t}=f-\frac{1}{\rho }gradp

(理想流体欧拉运动微分方程)

其中,

gradp=\frac{\partial p }{\partial x}i+\frac{\partial p}{\partial y}j+\frac{\partial p}{\partial z}k

适用条件:理想流体,不可压缩流体和可压缩流体

未完待更新……

你可能感兴趣的:(流体力学,流体力学,物理学)