高中奥数 2022-03-07

在不等式的证明过程中,我们时常要对和式进行处理,对和式作一些恒等变形.因此有必要了解一下一些重要的恒等变换式以及变换法:

(1);

(2);

(3);

(4);

(5);

(6);

(7).

以上变换公式请读者自行证明并熟记于心.下面再看一下著名的Abel变换方法:.

首先,设,,则

称为Abel和差变换公式.

在中令,,可得

称为Abel分部求和公式.

由不难得到著名的Abel不等式:
设,,.则有:

在实际证题的时候,如果发现一列数和易求,一列数差易求,就可以考虑采用Abel变换.

2022-03-07-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P030 例01）

证明Lagrange恒等式:
$\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right) \cdot\left(\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}^{2}\right)=\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2}+\sum\limits_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left(a_{i} b_{j}-a_{j} b_{i}\right)^{2},$
并由此式说明Cauchy不等式成立.

证明
$\begin{aligned} &\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right) \cdot\left(\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}^{2}\right)-\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2} \\ =& \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} a_{i}^{2} b_{j}^{2}-\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} a_{i} b_{i} a_{j} b_{j} \\ =& \dfrac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n}\left(a_{i}^{2} b_{j}^{2}+a_{j}^{2} b_{i}^{2}-2 a_{i} b_{i} a_{j} b_{j}\right) \\ =& \dfrac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n}\left(a_{i} b_{j}-a_{j} b_{i}\right)^{2} \\ =& \sum\limits_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left(a_{i} b_{j}-a_{j} b_{i}\right)^{2}, \end{aligned}$
故Lagrange恒等式成立.又因为,所以有

即Cauchy不等式成立.

2022-03-07-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P030 例2）

若,,,则

证明

$\begin{aligned} &\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{p}\right)\cdot\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{q}\right)-\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{s}\right)\cdot\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{r}\right)\\ =&\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\left(a_{i}^{p}a_{j}^{q}-a_{i}^{s}a_{j}^{r}\right)\\ =&\dfrac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\left(a_{i}^{p}a_{j}^{q}-a_{i}^{s}a_{j}^{r}\right)+\dfrac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\left(a_{j}^{p}a_{i}^{q}-a_{j}^{s}a_{i}^{r}\right)\\ =&\dfrac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\left(a_{i}^{p}a_{j}^{q}+a_{j}^{p}a_{i}^{q}-a_{i}^{s}a_{j}^{r}-a_{j}^{s}a_{i}^{r}\right)\\ =&\dfrac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{i}^{q}a_{j}^{q}\left(a_{i}^{p-q}+a_{j}^{p-q}-a_{i}^{s-q}a_{j}^{r-q}-a_{j}^{s-q}a_{i}^{r-q}\right)\\ =&\dfrac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{i}^{q}a_{j}^{q}\left(a_{i}^{p-s}-a_{j}^{p-s}\right)\left(a_{i}^{s-q}-a_{j}^{s-q}\right)\\ \geqslant& 0. \end{aligned}$
故原不等式成立.

说明恒等变换式(6)可以帮助我们把和项变得对称,进而便于因式分解.

2022-03-07-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P031 例3）

若,,,

等号成立当且仅当.

证明
$\begin{aligned} &\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}\right) \left(\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}\right)-\left(\sum\limits_{i=1}^{n} c_{i}\right)^{2}-\left(\sum\limits_{i=1}^{n} d_{i}\right)^{2} \\ =& \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} a_{i} b_{j}-\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} c_{i} c_{j}-\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} d_{i} d_{j} \\ =& \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n}\left(a_{i} b_{j}-c_{i} c_{j}-d_{i} d_{j}\right) \\ =& \dfrac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n}\left(a_{i} b_{j}+a_{j} b_{i}-2 c_{i} c_{j}-2 d_{i} d_{j}\right) \\ =& \dfrac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n}\left[\dfrac{a_{i}}{a_{j}}\left(c_{j}^{2}+d_{j}^{2}\right)+\dfrac{a_{j}}{a_{i}}\left(c_{i}^{2}+d_{i}^{2}\right)-2 c_{i} c_{j}-2 d_{i} d_{j}\right] \\ =& \dfrac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n}\left[\left(\sqrt{\dfrac{a_{i}}{a_{j}} c_{j}}-\sqrt{\dfrac{a_{j}}{a_{i}} c_{i}}\right)^{2}+\left(\sqrt{\dfrac{a_{i}}{a_{j}} d_{j}}-\sqrt{\dfrac{a_{j}}{a_{i}}} d_{i}\right)^{2}\right] \\ \geqslant & 0 . \end{aligned}$
等号成立当且仅当
$\left\{\begin{array}{l} \sqrt{\dfrac{a_{i}}{a_{j}}} c_{j}- \sqrt{\dfrac{a_{j}}{a_{i}}} c_{i}=0, \\ \sqrt{\dfrac{a_{i}}{a_{j}}} d_{j}-\sqrt{\dfrac{a_{j}}{a_{i}}} d_{i}=0 . \end{array}(1 \leqslant i<j \leqslant n)\right.$

即
由,得,即.

故

由立刻得到,等号成立当且仅当

说明本题也可以直接从右边证到左边.

证明
$\begin{aligned} &\left(\sum\limits_{i=1}^{n} c_{i}\right)^{2}+\left(\sum\limits_{i=1}^{n} d_{i}\right)^{2} \\ =& \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n}\left(c_{i} c_{j}+d_{i} d_{j}\right) \\ \leqslant & \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \sqrt{c_{i}^{2}+d_{i}^{2}} \cdot \sqrt{c_{j}^{2}+d_{j}^{2}} \\ =& \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \sqrt{a_{i} b_{i}} \cdot \sqrt{a_{j} b_{j}}\\ =&\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \sqrt{a_{i} b_{j}} \cdot \sqrt{a_{j} b_{i}} \\ \leqslant & \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \dfrac{a_{i} b_{j}+a_{j} b_{i}}{2}\\ =&\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} a_{i} b_{j} \\ =&\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}\right) \cdot\left(\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}\right). \end{aligned}$

高中奥数 2022-03-07

你可能感兴趣的:(高中奥数 2022-03-07)