二、线性神经网络

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前言

在介绍深度神经网络之前，我们需要了解神经网络训练的基础知识。 本章我们将介绍神经网络的整个训练过程， 包括：定义简单的神经网络架构、数据处理、指定损失函数和如何训练模型。 为了更容易学习，我们将从经典算法————线性神经网络开始，介绍神经网络的基础知识。 经典统计学习技术中的线性回归和softmax回归可以视为线性神经网络， 这些知识将为其他部分中更复杂的技术奠定基础。

一、线性回归

1. 线性回归的基本元素

1.1 线性模型

这里先假设我们的模型是用来预测房屋价格的。设特征个数为2，分别为面积和房龄，目标是房屋价格，则可用下式表达：
$$\mathrm{price}=w_{\mathrm{area}}\cdot \mathrm{area}+w_{\mathrm{age}}\cdot \mathrm{age}+b.$$

其中w可称为权重，用来衡量每个特征对预测值的影响程度，b称为偏置项（或偏移量、截距）,偏置项可以提高模型的表达能力。

数学表达：
$$\hat{y}=w_1{x}_1+...+w_d{x}_d+b.$$

其中$\hat{y}$ 表示预测值，w表示权重，x表示特征值，b表示偏置项。

上式向量表示：
$$\hat{y}={\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{x}+b.$$

这是一个样本的表达式，因此这里的y是一个标量。

多个样本的表达式如下：
$$\hat{\mathbf{y}}=\mathbf{Xw}+\mathbf{b}$$

其中$\hat{\mathbf{y}}$与w是一个一维向量，$\mathbf{X}$是一个矩阵，b是一个标量，b可通过广播机制与Xw的结果每个元素相加。

注b是可以合并在w中的，具体如下图所示：

1.2 损失函数

使用平方误差公式 作为线性回归的损失函数：
$$l^{(i)}(\mathbf{w},b)=\frac{1}{2}{\left({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)}\right)}^2.$$

其中$i$表示第$i$个样本，因此所有样本的总损失函数可设为：
$$L(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{l}^{(i)}(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right)}^2.$$

1.3 解析解

由于线性回归问题是一个很简单的优化问题，我们可以推出它的解析解，所谓解析解就是能用公式直接推出权重的值。
$${\mathbf{w}}^{\ast }=({\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{X}{)}^{-1}{\mathbf{X}}^{\top }\mathbf{y}.$$

推导过程如下：
$$y=Xw\Rightarrow X^{T}y=X^{T}Xw\Rightarrow w=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$$

1.4 梯度下降

即使我们无法得到解析解，我们也可以通过梯度下降方法来优化损失函数。

梯度是指向某个函数在每一点处上升最快的方向的向量，故其反向量指向函数下降最快的方向，因此我们可利用梯度下降来求得函数的最小值，该最小值不一定是全局最小值，但对于凸函数一定是全局最小值。

我们可使用如下公式来迭代的$\mathbf{x}$:
$$\mathbf{x}=\mathbf{x}-lr\ast \frac{\partial L(w)}{\partial w}$$

其中lr表示学习率，用来控制迭代的幅度。

根据求梯度的方式不同，梯度下降可分为如下几种：

• 批量梯度下降： 即求梯度时，使用全部样本数据来求梯度。
  • 优点：全面优化，收敛快，可用向量并行计算
  • 缺点：开销大，更新慢，容易陷入局部最优解
• 随机梯度下降： 随机选取一个样本进行梯度计算。
  • 优点：速度快，可跳出局部最优解
  • 缺点： 方向不稳定导致收敛的速度不确定，可能陷入噪声中，需要更多次迭代。
• 小批量梯度下降： 使用一部分样本进行梯度的计算。是 前两个的折中，最常用。

1.5 用模型进行预测

根据上面的步骤后,我们已经求得模型,因此我们可以使用该模型进行预测新的房价,这种行为称为预测(prediction)–更准确 或者 推断(inference)

2. 正态分布与平方损失

为什么我们可以使用均方差 来表示线性回归的损失函数呢,这里涉及到正态分布 以及最大似然函数的计算.
$$P(\mathbf{y}\mid \mathbf{X})=\prod _{i=1}^{n}p(y^{(i)}|{\mathbf{x}}^{(i)}).$$

$$-\log P(\mathbf{y}\mid \mathbf{X})=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}\log (2\pi {\sigma }^2)+\frac{1}{2{\sigma }^2}{\left(y^{(i)}-{\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}-b\right)}^2.$$

3. 从线性回归到深度网络

线性回归相当于单层的神经网络，图如下：

注：这是单层的

对于线性回归，每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连， 我们将这种变换称为全连接层（fully-connected layer）或称为稠密层（dense layer）。

二、线性回归的代码实现

引入包：

%matplotlib inline
import random
import torch
from d2l import torch as d2l

1. 生成数据集

def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save
    """生成y=Xw+b+噪声"""
    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
    y = torch.matmul(X, w) + b
    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)  #加了噪声
    return X, y.reshape((-1, 1))  #返回数据集 以及标签

true_w = torch.tensor([2, -3.4]) 
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

2. 读取数据集

2.1 手动实现读取数据集

def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    # 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
    random.shuffle(indices)
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        batch_indices = torch.tensor(
            indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
        yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

这里我们使用的是小批量梯度下降算法。

2.2 简洁实现读取数据集

def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True):  #@save
    """构造一个PyTorch数据迭代器"""
    dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)  #返回TensorDataset类实例
    return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train) #shuffle表明是否乱序

batch_size = 10
data_iter = load_array((features, labels), batch_size)

3. 初始化模型参数

3.1 手动初始化

w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

3.2 简洁实现初始化

net[0].weight.data.normal_(0, 0.01)
net[0].bias.data.fill_(0)

其中net为下面简洁定义的模型。

4. 定义模型

4.1 手动定义

def linreg(X, w, b):  #@save
    """线性回归模型"""
    return torch.matmul(X, w) + b

4.2 简洁定义

# nn是神经网络的缩写
from torch import nn

net = nn.Sequential(nn.Linear(2, 1))

5. 定义损失函数

5.1 手动定义

def squared_loss(y_hat, y):  #@save
    """均方损失"""
    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

5.2 简洁定义

loss = nn.MSELoss()   #该loss具有求和功能

6. 定义优化算法

6.1 手动定义

def sgd(params, lr, batch_size):  #@save
    """小批量随机梯度下降"""
    with torch.no_grad():
        for param in params:
            param -= lr * param.grad / batch_size
            param.grad.zero_()

6.2 简洁定义

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.03)

7. 训练

7.1 手动训练

lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss

for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        l = loss(net(X, w, b), y)  # X和y的小批量损失
        # 因为l形状是(batch_size,1)，而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起，
        # 并以此计算关于[w,b]的梯度
        l.sum().backward()
        sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数
    with torch.no_grad():
        train_l = loss(net(features, w, b), labels)
        print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

7.2 简洁训练

num_epochs = 3
for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter:
        l = loss(net(X) ,y)
        trainer.zero_grad()
        l.backward()
        trainer.step()
    l = loss(net(features), labels)
    print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')

三、逻辑回归

逻辑回归即类似于分类问题，通常我们有二分类以及多分类问题，二分类我们常选用sigmoid函数，而多分类问题，我们常选用softmax函数，因此也可称为softmax回归。

3.1 二分类回归

3.1.1 二分类回归的大致流程

在上述的单层线性回归中对与每个样本我们会得到一个预测值，我们只需要把这个预测值一分为二，如果预测值在某个区域那么它就属于类别1，否则就属于类别2。 然后根据真实标签值不断的训练权重，从而实现二分类。

3.1.2 sigmoid函数

sigmoid函数的表达式为：
$$\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$

它的图像如下：

它可以把整个实数域的值映射到0到1之间，刚好0-0.5属于一类，0.5-1属于一类。

因此调整之后的公式为：
$$\sigma =\frac{1}{1+e^{-Xw}}$$

其中$\sigma$可看作属于某一类别的概率。

3.1.3 定义损失函数

设预测类别1的概率为$P_1=\sigma$,预测类别为2的概率为$P_2=1-\sigma$。

在某个样本以及权重下，预测值的概率可描述为：
$$P({\hat{y}}_i|x_i,w)=P_1^{y_i}\ast P_0^{1-y_i}$$
其中$y_i$表示该样本的真实值，当其为1时，$P({\hat{y}}_i|x_i,w)=P_1$ 此时若$P_1$越接近1越损失越小；当其为0时，$P({\hat{y}}_i|x_i,w)=P_0$ 此时若$P_0$越接近1越损失越小。

因此总的样本概率为：
$$\begin{array}{rl}P& =\prod _{i=1}^{m}P({\hat{y}}_i|x_i,w)\\ & =\prod _{i=1}^m(P_1^{y_i}\ast P_0^{1-y_i})\\ & =\prod _{i=1}^m({\sigma }_i^{y_i}\ast (1-{\sigma }_i{)}^{1-y_i})\end{array}$$

我们通常去负对数来获得损失函数：
$$loss=-\sum _{i=1}^m(y_i\ast ln({\sigma }_i)+(1-y_i)\ast ln(1-{\sigma }_i))$$

3.1.4 手动代码实现

import torch
from torch import nn
from torch.utils import data

num_samples = 500
num_inputs = 200
num_outputs = 1
batch_size = 20
num_epochs = 30

# 生成数据
features = torch.rand((num_samples, num_inputs), dtype=torch.float32)
labels = torch.randint(low=0, high=2, size=(num_samples, 1))
dataset = data.TensorDataset(features, labels)
train_loader = data.DataLoader(dataset, batch_size=20, shuffle=True)

# 初始化模型参数
W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)


# 模型
def net(X, W, b):
    z = torch.mm(X, W) + b
    sigma = torch.sigmoid(z)
    return sigma


# 损失函数
def myBCEWithLogitsLoss(outputs, labels):
    loss = -(labels * torch.log(outputs) + (1 - labels) * torch.log(1 - outputs))
    loss = torch.mean(loss)
    return loss


# 优化算法
def sgd(W, b, lr, batch_size):  # @save
    """小批量随机梯度下降"""
    with torch.no_grad():
        W -= lr * W.grad / batch_size
        b -= lr * b.grad / batch_size


# 训练
for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in train_loader:
        loss = myBCEWithLogitsLoss(net(X, W, b), y)
        loss.backward()
        sgd(W, b, 0.03, batch_size)
    l_hat = net(features, W, b)
    loss = myBCEWithLogitsLoss(l_hat, labels)
    l_hat_int = torch.tensor(
        [1 if l_hat[i] > 0.5 else 0 for i in range(l_hat.shape[0])]
    )
    accuracy = torch.mean((l_hat_int.flatten() == labels.flatten()).float())
    print(f"epoch {epoch + 1}, loss {loss:f}, acc {accuracy}")

3.2 多分类回归

3.2.1 网络架构

其中，$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}{o}_1& =x_1{w}_{11}+x_2{w}_{12}+x_3{w}_{13}+x_4{w}_{14}+b_1,\\ o_2& =x_1{w}_{21}+x_2{w}_{22}+x_3{w}_{23}+x_4{w}_{24}+b_2,\\ o_3& =x_1{w}_{31}+x_2{w}_{32}+x_3{w}_{33}+x_4{w}_{34}+b_3.\end{array}\end{array}$$

3.2.2 大致流程

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}\mathbf{O}& =\mathbf{XW}+\mathbf{b},\\ \hat{\mathbf{Y}}& =\mathrm{softmax}(\mathbf{O}).\end{array}\end{array}$$
先线性变换 再用softmax函数进行非线性变换。

3.2.3 softmax函数

$$\hat{\mathbf{y}}=\mathrm{softmax}(\mathbf{o})\text{其中}{\hat{y}}_j=\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_k\exp (o_k)}$$

3.2.4 损失函数

每个样本的输出值都可以采用独热编码的方式进行表达，如进行3分类回归，若一样本对应的标签是第0分类，则其独热编码为1,0,0。

k分类损失函数推导：
$$P({\hat{y}}_i|x_i,w)=P_1^{y_i(k-1)}\ast P_2^{y_i(n-2)}\ast P_3^{y_i(k-3)}\ast \dots \ast P_K^{y_i(k-K)}$$

取负对数可得损失函数为：
$$l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=-\sum _{j=1}^q{y}_j\log {\hat{y}}_j.$$

其中，q表示样本数$y_j$是一个长度为k独热编码，${\hat{y}}_j$也是一个长度为k的向量，每一个值为该类别的概率。

此损失函数称为交叉熵损失函数

3.2.5 避免softmax函数上溢以及对数下溢

由于softmax中有指数函数，容易造成数值上溢，解决办法：
$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}{\hat{y}}_j& =\frac{\exp (o_j-\max (o_k))\exp (\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))\exp (\max (o_k))}\\ & =\frac{\exp (o_j-\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))}.\end{array}\end{array}$$

但此做法，可能会导致其值接近0，从而导致下溢，并且导致交叉熵损失函数中的取对数导致负无穷从而又上溢，解决办法：把两者结合
$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}\log ({\hat{y}}_j)& =\log \left(\frac{\exp (o_j-\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))}\right)\\ & =\log (\exp (o_j-\max (o_k)))-\log \left(\sum _k\exp (o_k-\max (o_k))\right)\\ & =o_j-\max (o_k)-\log \left(\sum _k\exp (o_k-\max (o_k))\right).\end{array}\end{array}$$

3.2.6 softmax回归代码实现

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

# 获取数据
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

##定义模型
# PyTorch不会隐式地调整输入的形状。因此，
# 我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状,softmax无需加
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))


## 初始化参数
def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)


net.apply(init_weights)

# 定义损失函数 已经融入softmax
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction="none")

# 定义优化算法
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)

# 训练
num_epochs = 10


if __name__ == "__main__":
    for epoch in range(num_epochs):
        acc = 0
        for X, y in train_iter:
            y_hat = net(X)
            l = loss(y_hat, y)
            trainer.zero_grad()
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        print(l.mean())

总结

本节主要讲解了线性回归以及逻辑回归及其代码实现，两者都是单层神经网络，下章将讲解多层感知机。