《计算机视觉中的多视图几何》学习笔记
困惑与解答：
问题：射影变换与仿射变换的区别
解答：
射影变换和仿射变换都是在平面几何中常用的变换。它们的区别在于是否保持直线的性质。
射影变换将一条直线映射为一条直线，但不保持线段的长度和角度大小。一个简单的例子是透视投影变换，即将三维空间中的物体投影到二维平面上。
而仿射变换则不仅保持直线的性质，还保持线段长度和角度大小。因此，它可以被视为是射影变换的一个特殊情况。例如，缩放、旋转、平移和剪切等都是仿射变换。
需要注意的是，在二维平面上，仿射变换可以被表示为一个3×3矩阵，而射影变换需要使用4×4矩阵来表示。
个人理解概述：
- 区别在与是否保持直线性质。
- 射影变换不保持直线的大小和角度
- 仿射变换不改变直线的长度和角度
问题：仿射变换保持直线的长度和角度吗
解答：
仿射变换是一种线性变换和平移的组合，它可以保持直线的长度和角度。具体来说，对于仿射变换后的直线，它的长度和角度与原始直线保持不变。
当进行仿射变换时，直线上的所有点都会按照线性变换的规则进行变换，包括缩放、旋转和剪切等操作。这些操作不会改变直线上的点之间的距离关系，因此直线的长度会保持不变。
另外，仿射变换也不会改变直线的角度。如果两条直线在原始图像中的夹角为 (θ)，经过仿射变换后，它们在变换后的图像中的夹角仍然为 (θ)。这是因为仿射变换是通过线性变换和平移来描述的，而线性变换不会改变向量的夹角。
综上所述，仿射变换在保持直线的长度和角度方面具有保持性质，这使得它在许多计算机视觉和图形学应用中非常有用。
个人理解概述：
- 射影变换，保证直线是直线，但不保证直线的平行关系
问题：为什么当进行仿射变换时，直线上的所有点都会按照线性变换的规则进行变换，包括缩放操作也不会改变直线的长度
解答：
当进行仿射变换时，直线上的所有点都会按照线性变换的规则进行变换，包括缩放操作也不会改变直线的长度，是因为仿射变换是通过矩阵乘法来表示的。
在仿射变换中，使用一个 (2 \times 2) 的线性变换矩阵表示缩放、旋转和剪切等操作，并使用一个 (2 \times 1) 的平移向量表示平移操作。对于直线上的每个点 ((x, y))，应用仿射变换时，它会被表示为一个齐次坐标向量 ((x’, y’, 1))。
当进行线性变换时，缩放操作会影响坐标向量的比例，但不会改变齐次坐标向量的最后一维的值。因此，直线上的点经过缩放操作后，仍然保持在同一直线上，它们的相对距离保持不变，因此直线的长度也保持不变。
此外，仿射变换的平移操作只会改变坐标的原点，而不会改变直线上的点之间的距离关系。因此，直线上的点在平移操作后仍然保持在同一直线上，直线的长度也不受平移操作的影响。
综上所述，由于仿射变换是通过矩阵乘法来表示的，其中包括线性变换和平移操作，直线上的点在进行仿射变换时会按照线性变换的规则进行变换，包括缩放操作也不会改变直线的长度。这是因为线性变换和平移操作保持了点之间的距离关系和直线的平行性质。
个人理解概述：
- 剪切或者缩放等操作，改变的是坐标向量的比例，但不会改变齐次坐标最后一维的值。直线上的点经过操作之后，仍然在一条直线上，并且距离保持不变，因此长度保持不变。
问题：什么是射影变换
解答：
射影变换（Projective Transformation），也称为投影变换或透视变换，是在几何学中使用的一种变换方法。它是指将一个二维或三维空间中的点集映射到另一个二维或三维空间中的点集的一种数学映射关系。
射影变换的特点是保持直线在变换后仍然是直线，但不一定保持平行关系。它是一种更为一般化的变换，可以用于模拟透视投影、相机成像等现实世界中的几何变换。
在计算机视觉和计算机图形学中，射影变换广泛应用于图像校正、图像扭曲校正、图像配准、三维重建等领域。它可以用于纠正图像中的透视畸变，使得直线在图像中保持直线性质，也可以用于将多个图像拼接在一起以生成全景图像。
射影变换可以由一个非奇异的3x3矩阵表示，称为射影变换矩阵或透视变换矩阵。对于二维空间中的点(x, y)，应用射影变换可以得到变换后的点(x’, y’, w’)，其中w’是一个尺度因子。通过将(x’, y’, w’)的前两个分量除以w’，可以得到变换后的二维点坐标。
射影变换可以通过多个控制点的映射关系来确定。具体来说，通过找到原始空间中的控制点和目标空间中的对应控制点，可以计算出射影变换矩阵，进而将其他点进行映射。
总结而言，射影变换是一种将一个空间中的点集映射到另一个空间中的点集的数学变换关系。它保持直线在变换后仍然是直线，但不一定保持平行关系。射影变换在计算机视觉和计算机图形学中有广泛的应用，用于图像校正、图像扭曲校正、图像配准、三维重建等领域。
个人理解概述：
- 射影变换，保证直线是直线，但不保证直线的平行关系
问题：什么是仿射变换
解答：
仿射变换（Affine Transformation）是几何学中的一种变换方法，用于将一个二维或三维空间中的点集映射到另一个二维或三维空间中的点集。仿射变换是射影变换的一个特例，它在变换过程中保持了直线的平行性质。
仿射变换具有以下特点：
-
平行线性质保持：仿射变换保持直线的平行性质。即在变换前后，平行的直线仍然是平行的。
-
比例保持：仿射变换保持线段的比例关系。即变换前后的线段长度比例保持不变。
-
直线保持：仿射变换将直线映射为直线。直线上的点在变换后仍然在同一直线上。
-
不保持点共线性：仿射变换一般不保持三个非共线点的共线性。即变换前三个共线点的映射不一定共线。
在二维空间中，仿射变换可以由一个非奇异的3x3矩阵表示，称为仿射变换矩阵。矩阵的前两列表示坐标轴的缩放和旋转分量，第三列表示平移分量。
仿射变换可以进行平移、旋转、缩放和错切等操作。具体变换效果取决于仿射变换矩阵的参数。
在计算机视觉和计算机图形学中，仿射变换常用于图像处理、图像配准、目标检测、特征提取等领域。它可以用于图像的平移、旋转、缩放、倾斜和投影校正等操作，以及对几何结构的变换和分析。
总结而言，仿射变换是一种保持直线平行性质的几何变换。它通过矩阵表示，并包括平移、旋转、缩放和错切等操作。仿射变换在计算机视觉和计算机图形学中具有广泛的应用，用于图像处理、图像配准、目标检测等任务。
个人理解概述：
- 保持直线的平行性
问题：什么是射影变换
解答：
射影变换（Projective Transformation），也称为投影变换或透视变换，是几何学中的一种变换方法，用于将一个二维或三维空间中的点集映射到另一个二维或三维空间中的点集。射影变换是一种更为一般化的变换，可以用于模拟透视投影、相机成像等现实世界中的几何变换。
射影变换的特点是保持直线在变换后仍然是直线，但不一定保持平行关系。它可以将平面或空间中的点映射到另一个平面或空间中，并模拟出透视效果。
在二维空间中，射影变换可以由一个非奇异的3x3矩阵表示，称为射影变换矩阵或透视变换矩阵。对于二维空间中的点(x, y)，应用射影变换可以得到变换后的点(x’, y’, w’)，其中w’是一个尺度因子。通过将(x’, y’, w’)的前两个分量除以w’，可以得到变换后的二维点坐标。
射影变换可以由多个控制点的映射关系来确定。具体来说，通过找到原始空间中的控制点和目标空间中的对应控制点，可以计算出射影变换矩阵，进而将其他点进行映射。
射影变换在计算机视觉和计算机图形学中有广泛的应用。它可以用于图像校正、图像扭曲校正、图像配准、三维重建等领域。在计算机图形学中，射影变换可以模拟透视投影效果，使得二维图像或三维场景在二维显示设备上呈现出透视感。
总结而言，射影变换是一种将一个空间中的点集映射到另一个空间中的点集的数学变换关系。它保持直线在变换后仍然是直线，但不一定保持平行关系。射影变换在计算机视觉和计算机图形学中有广泛的应用，用于图像校正、图像扭曲校正、图像配准、三维重建等领域。
个人理解概述：
- 它保持直线在变换后仍然是直线，但不一定保持平行关系
问题：为什么在线性方程组中，矩阵A列满秩，方程组个数大于未知数个数，方程组会无解
解答：
在线性方程组中，如果矩阵 A 的列满秩，而方程组的个数（行数）大于未知数的个数（列数），那么这个方程组可能会无解。
这是因为列满秩的矩阵 A 表示它的列向量组是线性无关的，没有冗余的列。如果方程组的个数大于未知数的个数，意味着有更多的约束条件（方程）被加入，但是未知数的个数不足以满足所有约束。
考虑一个具体的例子，假设矩阵 A 是一个 3×2 的矩阵（列满秩），方程组的形式是：
a11*x1 + a12*x2 = b1
a21*x1 + a22*x2 = b2
a31*x1 + a32*x2 = b3
如果方程组的个数大于未知数的个数，例如有 4 个方程，那么在这种情况下，无法找到一个满足所有方程的解。因为约束过多，不同方程之间可能存在冲突或矛盾，无法同时满足所有方程。
需要注意的是，如果方程组的个数小于未知数的个数，那么方程组可能存在无穷多个解，这是因为有更多的未知数可以取不同的值满足约束条件。
综上所述，当矩阵 A 的列满秩，而方程组个数大于未知数个数时，方程组可能会无解。
个人理解概述：
- [ ]
问题：什么是超定问题
解答：
超定问题是指具有多于所需约束条件的问题。在数学和工程领域，通常我们解决问题时会提供足够的约束条件来唯一确定问题的解。然而，当我们给出超过必要约束条件的情况时，就会出现超定问题。
超定问题可能出现在多个领域中，如线性方程组、曲线拟合和优化问题中。例如，在线性方程组中，如果有更多的方程式比未知数的个数多，那么就会产生超定问题。在曲线拟合中，如果要拟合的数据点多于拟合曲线的参数个数，也会遇到超定问题。
解决超定问题的一种常见方法是使用最小二乘法。最小二乘法通过最小化残差的平方和来找到在超定约束下最接近真实解的解。这样可以得到一个近似解，使得所有的约束条件都得到满足，尽管不能完全满足所有约束。
总之，超定问题是指具有多于所需约束条件的问题，需要使用适当的方法来求解近似解。最小二乘法是解决超定问题的常用方法之一。
个人理解概述：
- 方程组的个数比未知数多
问题：什么是残差
解答：
在数学和统计学中，残差是指观测值与预测值之间的差异或偏差。在回归分析中，我们使用模型来预测或拟合数据，而残差则是观测值与模型预测值之间的差异。
对于给定的数据集，我们可以使用一个数学模型来描述数据的趋势或关系。该模型可以是线性模型、非线性模型或其他形式的函数。当我们用这个模型对数据进行拟合时，我们计算得到的预测值与实际观测值之间会存在差异。
残差是通过将观测值减去相应的模型预测值得到的。对于第i个观测值，其残差可以表示为：
残差i = 观测值i - 预测值i
残差可以用来评估模型的拟合程度。如果残差较小，表示模型能够很好地拟合数据；如果残差较大，则表示模型的预测与实际观测值之间存在较大的差异。
在回归分析中，常用的目标是最小化残差的平方和，即最小二乘法。通过最小化残差平方和，我们可以找到最优的模型参数，使得模型对数据的拟合程度最佳。
个人理解概述：
- 残差是指观测值与预测值之间的差异或偏差
问题：什么是绝对二次曲线
解答：
绝对二次曲线是在平面上的一个特殊类型的曲线。它的方程可以表示为：
∣ x ∣ a 2 + ∣ y ∣ b 2 = 1 \frac{{|x|}}{{a^2}} + \frac{{|y|}}{{b^2}} = 1 a2∣x∣+b2∣y∣=1
其中 (a) 和 (b) 是正实数，分别代表了曲线在 (x) 轴和 (y) 轴上的半轴长度。
绝对二次曲线通常是椭圆、双曲线和抛物线的一般化形式。具体来说：
- 当 (a) 和 (b) 相等时，绝对二次曲线是一个圆。
- 当 (a) 和 (b) 不相等时，绝对二次曲线是一个椭圆或双曲线。当 (a > b) 时，它是一个椭圆；当 (a < b) 时，它是一个双曲线。
- 当 (a) 或 (b) 中有一个为零时，绝对二次曲线是一个抛物线。
绝对二次曲线在数学和几何学中有广泛的应用，可以描述物体的轨迹、光学系统中的透镜形状、天体运动等。它们具有许多有趣的性质和特征，被广泛研究和应用于不同领域。
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