力扣日记剑指 Offer II 001

1. 题目

LeetCode 剑指 Offer II 001. 整数除法

1.1 题意

模拟除法，不使用乘除号

1.2 分析

首先模拟除法可以使用减法，通过不断减去除数，得到结果。这样的时间复杂度最坏情况下是（2^31）（即INT_MIN / 1)，肯定过不了（大概在1e6左右才能过oj)。
如果知道快速幂的话，可以联想到同过类似快速幂的方法，求出b, 2b, 4b, 8b…… 然后从中还可以通过二分的方式来查找每次可以减去的除数倍数。

-2^31 <= a, b <= 2^31 - 1
b != 0

然后说一下细节，因为可能涉及到a,b异号情况，所以要考虑将a，b变为同号（不然每次减去的除数的倍数后符号会有问题，可以自己简单举个例子）
一开始我将两个数都变成了正号，结果出现问题？为什么，因为int补码范围负数比正数多1,取负会溢出。开始我使用long来存，但是实际已经不满足题目要求了。然后想到只有异号情况需要特殊处理，如果两个数都转换成负数，结果还是相同（因为$(-a)/(-b)=a/b$，而且不会有溢出的情况。

另外 题目中的溢出的情况，只有INT_MIN/(-1) 才会溢出，需要特判。

对于二分的细节写在代码注释中。

1.3 我的解法

class Solution {
public:
    int divide(int a, int b) {
        // 结果是否需要加负号
        int negFlag = 0;
        if(a==INT_MIN && b==-1)
            // 特判溢出的情况
            return INT_MAX;
        if(a>0){
            // 将被除数变成负数
            a = -a;
            // 使用异或记录下符号变化的次数
            // 奇数次则说明结果需要添加负号
            negFlag ^= 1;
        }
        if(b>0){
            // 被除数变成负数
            b = -b;
            negFlag ^= 1;
        }
        // dichotomy
        // b 2b 4b 8b 16b 32b
        // 利用二分法（类似快速幂）
        // 一个记录下除数的倍数 b 2b 4b 8b .....
        // 一个记录下对应的系数 1 2 4 8 ......
        // 为什么要记系数？
        // 因为不能使用乘法，根据下标难以快速得到系数
        vector<long> mult; // store b 2b  ......
        vector<long> base; // store 1 2 4 8 ......
        mult.emplace_back(b);
        base.emplace_back(1);
        // generate mult and base
        // 生成除数的倍数
        // 直到除数的倍数超过被除数a
        while(mult.back()>=a){
            mult.emplace_back(mult.back() + mult.back() );
            base.emplace_back(base.back() + base.back() );
        }
        // compute ans
        long res = 0;
        int n = mult.size();
        // 要注意这里头mult中的 b 2b 4b ....是降序排列
        // 因为b是负数
        while(a <= mult[0]){
            // dichotomy
            // find ind: mult[ind] < a && mult[ind-1] >= a 
            // 找到第一个比剩余的a小的数
            int l=0, r=n-1, mid = (l+r)/2;
            while(l<r){
                // 细节：怎么判断是否这两个边界会造成死循环
                // 死循环的根本是最后 l r相近的时候，mid不会继续改变
                // 举例 比如 l=0, r=1, mid= 0,然后再分支中l=mid，这类情况
                // 关键在于不能缩小范围的那个分支里头，比如下面是r=mid
                // 可以举具体例子代入，康康是否会出现死循环，
                // 在下面代码情况中是不会的l=0, r=1, mid= 0,只有可能r=0,或者l=1都能缩小范围到退出循环
                if(mult[mid] < a){
                    r = mid;
                }
                else{
                    l = mid + 1;
                }
                mid = (l+r) / 2;
            }
            res += base[mid-1];
            a -= mult[mid-1];
        }
        // 注意符号
        if(negFlag)
            return int(-res);
        return res;
    }
};

1.4 学习题解反思

我的解法：
时间复杂度O( $(log(a/b){)}^2$ ),
在计算除数的倍数时最多需要log(a/b) + 1次
在计算除法结果时，最多需要log(a/b) + 1循环，在循环里头每次都需要找到可以减去的除数的倍数，使用二分也是log(a/b) + 1次查找，
和一块是O( $(log(a/b){)}^2$ )
空间复杂度O(log(a/b)) ，需要存除数的倍数和对应的系数

学习题解：
题解中对求解目标进行变换，改求Z×Y≥X>(Z+1)×Y， 同样使用二分求Z，这使得题解中的空间复杂度变成O(1)，妙啊。另外强调了细节(Z+1)×Y可能会溢出，需要再次变形（我来写的话必漏这个细节）
题解中的类二分查找看的不是很明白，感觉有点类似我的写法。

另外，我发现题解中没存系数，因为直接使用位运算1<

2.4 bug日记

2.4.1 取负溢出情况

2.4.2 除法结果溢出

2. 后记

仅分享自己的想法，有意见和指点非常感谢