【二叉树】C语言实现

1.树的概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的度为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType data; // 结点中的数据域
};

2.二叉树概念及结构

2.1二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点：
每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

2.3 特殊的二叉树：

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2 ^K -1 ，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对,应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。(通俗一点就是前K-1层为满二叉树，最后一层可以不满，但所有的叶子结点必须相邻的)

2.4 二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^i-1个结点.
若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h -1 .
对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n₀ , 度为2的分支结点个数为n₂ ,则有 n₀＝ n₂＋1.
若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log₂(n-1).
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2i+1=n否则无左孩子
. 若2i+2=n否则无右孩子

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* Left; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* Right; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
};

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.2堆的实现

点击 顺序结构实现堆.

4.二叉树的链式结构及实现

4.1头文件包含

typedef char BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;
//构造二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi);
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);
// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);
// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root);

构造结点

BTNode* BuyBTNode(BTDataType x)
{
	BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (node == NULL)
	{
		printf("malloc fail\n");
		exit(-1);
	}

	node->data = x;
	node->left = node->right = NULL;
	return node;
}

构造二叉树

BTNode* CreatBinaryTree()
{
	BTNode* node1 = BuyBTNode(1);
	BTNode* node2 = BuyBTNode(2);
	BTNode* node3 = BuyBTNode(3);
	BTNode* node4 = BuyBTNode(4);
	BTNode* node5 = BuyBTNode(5);
	BTNode* node6 = BuyBTNode(6);
	BTNode* node7 = BuyBTNode(7);
	BTNode* node8 = BuyBTNode(8);
	node1->left = node2;
	node1->right = node3;
	node2->left = node4;
	node2->right = node5;
	node3->left = node6;
	node3->right = node7;
	node5->left = node8;
	return node1;
}

如图所示

二叉树销毁

遍历二叉树有前序，中序，后序，层序四种方式，那么二叉树的销毁我们应该选取那种方式呢？答案很简单，那肯定是后序遍历了，因为二叉树的销毁需要先把左右子树销毁，然后销毁根，否则会出现内存泄露的问题。

void BinaryTreeDestory(BTNode** pproot)
{
	if (*pproot == NULL)
		return;
	BinaryTreeDestory((*pproot)->left);
	BinaryTreeDestory((*pproot)->right);
	free(*pproot);
	*pproot = NULL;

}

以我们构建的二叉树进行递归的展开（左子树）

二叉树结点个数

求二叉树的结点个数，是先递归求出左子树结点的个数，然后再递归求出右子树结点的个数，最后加上根节点，就是二叉树结点的总个数。

int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

以我们构建的二叉树进行递归的展开（左子树）

二叉树叶子节点个数

求二叉树的叶子结点个数，是先递归求出左子树叶子结点的个数，然后再递归求出叶子右子树结点的个数，最后左右相加，就是总的叶子结点个数。

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;
		//如果是叶子结点，返回1
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
		return 1;
		//递归求左右子树的叶子结点
	return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

这个比较简单，可以试试自己展开画递归图。

二叉树第k层节点个数

求二叉树第k层的节点个数我们可以学着转化，k层是相对于第一层是k,第二层是k-1,第三层是k-3，… …第k层数第1。所以我们递归它的左右子树，每向下一次，k的相对位置改变，k–,直到为1.

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	if (root == NULL)
		return;
	if (1 == k)
		return 1;
	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

假设我们求第3层的结点个数，按照代码画出递归展开图

二叉树查找值为x的节点

自行画递归，检查是否理解了递归

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
		return;
	if (root->data == x)
		return root;
	BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
	if (ret1)
		return ret1;
	BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
	if (ret2)
		return ret2;
	return NULL;

}

二叉树前序遍历

自行画递归，检查是否理解了递归
前序遍历就是先访问根，在访问左子树，最后访问右子树

void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;
	printf("%d ", root->data);
	BinaryTreePrevOrder(root->left);
	BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

二叉树中序遍历

自行画递归，检查是否理解了递归
前序遍历就是先访问左子树，在访问根，最后访问右子树

void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;
	
	BinaryTreePrevOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

二叉树后序遍历

自行画递归，检查是否理解了递归
前序遍历就是先访问左子树，在访问右子树，最后访问根

void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;
	BinaryTreePrevOrder(root->left);
	BinaryTreePrevOrder(root->right);
	printf("%d ", root->data);
}

层序遍历

层序遍历就是一层一层的访问

void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;//创建队列
	QueueInit(&q);//初始化队列
	QueuePush(&q, root);//根节点入队列
	while (!QueueEmpty(&q))//如果队列非空，进入循环
	{
		BTNode *ret = QueueFront(&q);//出队头
		QueuePop(&q);//删除队头
		printf("%d ", ret->data);//打印数据
		if (ret->left != NULL)//如果它的左孩子非空入队列
		{
			QueuePush(&q, ret->left);
		}
		if (ret->right != NULL)//如果它的右孩子非空入队列
		{
			QueuePush(&q, ret->right);
		}
	}
	QueueDestory(&q);//销毁队列
}

判断二叉树是否是完全二叉树

bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);//初始化队列
	QueuePush(&q, root);根结点入队
	while (!QueueEmpty(&q))//队列非空进入循环
	{
		BTNode* ret = QueueFront(&q);//出队头
		QueuePop(&q);//删除队头
		//如果遇到NULL，要是后面都是NULL，就是完全二叉树
		if (ret == NULL)//遇到NULL，跳出循环
		{
			break;
		}
		QueuePush(&q, ret->left);
		QueuePush(&q, ret->right);
	}
	//判断NULL后面是否都是NULL
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* ret = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (ret != NULL)//如果遇到非空，则不是完全二叉树
		{
			QueueDestory(&q);
			return false;
		}
	}
	QueueDestory(&q);
	return true;
}

判断两个树是否一样

bool isSameTree(BTNode* p, BTNode* q)
{
	//都是空树
	if (p == NULL && q == NULL)
		return true;

	//一个为空，一个不为空
	if (p == NULL || q == NULL)
		return false;

	//都不为空，且两数不相等
	if (p->data != q->data)
		return false;

	//递归比较左右子树
	return isSameTree(p->left, q->left) && isSameTree(p->right, q->right);
}