【八大排序(七)】归并排序初级篇-递归版

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1. 前言

归并排序算法是采用
分治法的一个经典案例
它和数据结构中的二叉树有异曲同工之妙
我们将从如何合并两个有序数组
到如何递归自身达到有序两个方面
给大家介绍归并排序的递归版本

准备好,大家上车开启归并之旅
(注意:本章排序都按升序讲解)

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2. 归并排序基本思路

我们先创建一个无序数组:

int a[]={10,6,7,1,3,9,4,2};

基本思路:

1. 拆分过程:

• 要使数组整体有序就要将
• 左半部分和右半部分变为有序
• 后进行单次归并排序
• 将数组拆分为两个部分A和B
• 要使A数组有序就要将
• A也拆分为两个部分
• 使左/右半部分都有序
• 一直拆分直到数组只有一个元素

画图理解:

2. 合并过程:

• 从左往右将6,10合并为有序
• 将7,1合并为有序后6,10,7,1再合并
• 数组的左半部分有序后.走右边
• 将3,9合并为有序后将4,2合并为有序
• 再将3.9.4.2合并为有序
• 至此左右子区间都有序
• 再将左右子区间归并为有序
• 使数组整体有序

画图理解:

这里给大家放出一个动图
帮助大家理解这个过程:

归并排序

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3. 对合并两个有序数组的思考

我们由易到难,定义两个有序数组:

int a[]={1,2,3};
int b[]={2,5,6};

方法:

• 定义两个指针A和B
• 分别指向两个数组的第一个元素
• 定义一个数组C接收这两个数组的数据
• A和B指向的值谁小,谁就放在C中第一个位置
• 然后对应的指针(A或B)往后走一步
• 直到走完其中一个数组后停下来

画图理解:

像这样往后一直走
这里我给出力扣平台的动图视频
帮助大家理解:

合并两个有序数组

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4. 合并两个有序数组代码实现

我们刚刚说明了
合并两个有序数组
在原数组中不好操作
所以我们定义一个临时数组tmp
来接收排序好的顺序,最后再拷贝回原数组

while (begin1 < end1 && begin2 < end2)//begin指针指向两个有序数组的第一个元素.end为数组有效范围
	{
		if (a[begin1] < a[begin2])//谁小谁就先进tmp数组
		{
			tmp[i++] = a[begin1++];
		}
		else
		{
			tmp[i++] = a[begin2++];
		}
	}
	while (begin1 < end1)//当其中一个数组走完后.将另外一个数组所有内容直接放进tmp数组
	{
		tmp[i++] = a[begin1++];
	}
	while (begin2 < end2)//数组1先走完就将数组2剩下全部内容放进去
	{
		tmp[i++] = a[begin2++];
	}
	//将tmp数组的内容拷贝回a数组
	for (int j = left; j < right; j++)
	{
		a[j] = tmp[j];
	}
}

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5. 归并排序递归版代码实现

由于每次都需要二分数组
而且需要为临时数组tmp开辟空间
在原函数上直接递归就不太方便
所以我们设计一个主函数和一个递归函数
方便我们编写代码

主函数:

//归并排序
void MergeSort(int* a, int n)
{
	int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);//为临时数组tmp开辟空间
	if (tmp == NULL)
	{
		printf("动态开辟失败");
		exit(-1);
	}
	_MergeSort(a, 0, n - 1, tmp);//_MergeSort为递归函数.传参进行递归过程
	free(tmp);
	tmp = NULL;
}

递归函数:

//归并排序的子程序
void _MergeSort(int* a, int left, int right, int* tmp)
{
	if (left >= right)
	{
		return;
	}
	int mid = (left + right) / 2;
	_MergeSort(a, left, mid, tmp);//进了函数一直递归,直到数组元素为1个后开始归并排序
	_MergeSort(a, mid + 1, right, tmp);//先递归左边再递归右边

	int begin1 = left;
	int end1 = mid;
	int begin2 = mid + 1;
	int end2 = right;
	int i = left;
	while (begin1 < end1 && begin2 < end2)
	{
		if (a[begin1] < a[begin2])
		{
			tmp[i++] = a[begin1++];
		}
		else
		{
			tmp[i++] = a[begin2++];
		}
	}
	while (begin1 < end1)
	{
		tmp[i++] = a[begin1++];
	}
	while (begin2 < end2)
	{
		tmp[i++] = a[begin2++];
	}
	//将tmp数组的内容拷贝回a数组
	for (int j = left; j < right; j++)
	{
		a[j] = tmp[j];
	}

}

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6. 总结思考以及拓展

算法效率思考:
我们按最坏的情况来计算

• 归并排序会将数组不断二分
  一共分为 log₂n 这么多层

• 而第一次二分的数组要走n/2个元素
  二分完有两个数组也就是走n个元素

• 以此类推,第二次二分完的数组
  有四个,每个数组需要走n/4个元素
  第二层也就要走n个元素

• 可以推算出每层要走n个元素

一共log~2~n层,每层遍历n个元素
时间复杂度为: O(N*log₂N)

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拓展:

归并排序最坏情况下
时间复杂度为: N * (log₂N)+1-N ∈ O(Nlog₂N)
归并排序最好情况下
时间复杂度为: (N * log₂N)/2 ∈ O(Nlog₂N)

详细推导过程可以参考:归并算法分析

既然归并有递归版本
那么肯定就有非递归版本
还是那句话:
正在与别人拉开差距的地方
往往就是研究得更加深入的地方

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下期预告:归并排序非递归版