AM@空间直线@线线@线面位置关系

空间直线

• 空间直线是空间曲线中的一种特殊情况,可以看作是某两个平面的交线

• 空间直线的一般方程可以表示为"方程组"

  • $$\begin{gathered} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0 \\ {A}_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0 \end{gathered}$$

• 过空间中某一直线的平面总是有无数个,只需要找到其中的2个,计算交线方程即可

直线的方向向量

• 如果一个非零向量$\mathbf{s}$平行于一条已知直线$\mathbf{l}$,那么向量$\mathbf{s}$就是$\mathbf{l}$的方向向量
• 过空间一点$M$有且仅有一条直线$\mathbf{s}$能和已知直线$\mathbf{l}$平行(夹角为$0$或$\pi$)
• 因此,若直线$\mathbf{l}$上的某点$M_0(x_0,y_0,z_0)$和方向向量$\mathbf{s}=(m,n,p)$已知时,直线$\mathbf{l}$就确定下来了

对称式方程(点向式方程)

• 设点$M(x,y,z)$是直线$L$上的任意一点,则向量$M_{0}M$与$L$的方向向量$\mathbf{s}$平行,$M_{0}M//\mathbf{s}$表明

  • 若$mnp\ne 0$

    • $$\begin{gathered} \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=k\ne 0 \\ x-x_0=km \\ y-y_0=kn \\ z-z_0=kp \end{gathered}$$

  • 否则:

    • 由$\mathbf{s}\ne 0$可知,$m,n,p$最多有2个为0

      • 当$m,n,p$中的某一个为0时,以$m=0$为例

        • $x-x_0=0k=0$
        • $\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$

      • 当$m,n,p$中的某2个为0,以$m,n=0$为例

        • $x-x_0=0k=0$

        • $y-y_0=0k=0$

参数方程

• 有对称式方程容易得到参数方程:

  • $$\begin{gathered} \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=k\ne 0 \\ x-x_0=km \\ y-y_0=kn \\ z-z_0=kp \end{gathered}$$

  • 移项得关于参数$k$得参数方程组:
    $$\begin{gathered} x=km+x_0 \\ y=kn+y_0 \\ z=kp+z_0 \end{gathered}$$

从一般方程到点向式方程

• $$\begin{gathered} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0 \\ {A}_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0 \end{gathered}$$

• 首先找到直线L上得任意一点

  • 由于直线L的一般方程是一个包含2个3元1次方程的方程组,其具有无穷多个解(对应了直线上有无穷多个点)
    • 根据线性方程组的(解的结构)相关结论可以知道,方程组的解至少包含一个自由未知量
    • 更具体地,由于该方程组仅包含2个方程,因此判断他们是否称比例,如果不成比例,两个方程线性无关
  • 为了找到直线L上的某一个具体的点
    • 设直线L上的一点$M(x_0,y_0,z_0)$,为了确定具体的点,不妨取定一个常数,比如$x_0=1$,带入到直线一般式方程组
    • 求解得到一个具体的$M$坐标

• 求解直线的方向向量

  • 可以再求直线L上的另一点$N(x_1,y_1,z_1)$,则$\mathbf{s}=MN$

  • 或者由L的方向向量和两个平面的法向量${\mathbf{n}}_1=(A_1,B_1,C_1)$,${\mathbf{n}}_2=(A_2,B_2,C_2)$同时垂直,计算出$\mathbf{s}=(m,n,p)$

    • ${\mathbf{n}}_1\cdot \mathbf{s}=0$

    • ${\mathbf{n}}_2\cdot \mathbf{s}=0$

    • 联立上述方程,$A_{1}m+B_{1}n+C_{1}p=0$;$A_{2}m+B_{2}n+C_{2}p=0$;可以得到用同一个字母表示作为坐标值构成的线向量,提取公因子

    • 具体可以表示为:

      • $$\begin{gathered} p=p(p)=p \\ n=n(p)=\frac{A_1{C}_2-A_2{C}_1}{A_2{B}_1-A_1{B}_2}p \\ m=m(p)=\frac{A_2{B}_{1}n+A_2{C}_{1}p}{A_2{A}_1} \end{gathered}$$

        也就是$m,n,p$都可以用仅含一个未知数的p的表达式表达

      • 这种方法不太方便

  • 直接使用向量的外积最为直接$\mathbf{s}={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2$

• 根据点向式方程公式带入点和直线;

例:

• 直线L的一般方程
  $$\begin{gathered} x+y+z+1=0 \\ 2x-y+3z+4=0 \end{gathered}$$

• 取$x_0=1$,则方程组变为

• $$\begin{gathered} y+z=-2 \\ y-3z=6 \end{gathered}$$

  解得:$y_0=0$,$z_0=-2$

• 从而点$M(1,0,-2)$在直线L上

• 以下有2种方法求解L的一个法向量

• 方法1:

  • 取$x_0=0$,可以算得$N(0,-\frac{1}{4},-\frac{5}{4})$是L上的另一点
  • 则$NM=(1,-\frac{1}{4},-\frac{3}{4})$,可以取$\mathbf{s}=4NM=(4,-1,-3)$

• 方法2:

  • 利用向量外积来求L的一个方向向量

  • s = n 1 × n 2 = ( 1 , 1 , 1 ) × ( 1 , − 1 , 3 ) = ∣ i j k 1 1 1 2 − 1 3 ∣ = ( 4 , − ( 1 ) , − 3 ) \boldsymbol{s=n_1\times{n_2}}=(1,1,1)\times{(1,-1,3)} =\begin{vmatrix} \boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ 1&1&1\\ 2&-1&3 \end{vmatrix} =(4,-(1),-3) s=n1​×n2​=(1,1,1)×(1,−1,3)= ​i12​j1−1​k13​ ​=(4,−(1),−3)

  • 因此,可以取$\mathbf{s}=(4,-1,-3)$作为L的方向向量

• 所以点法式方程

  • $$\frac{x-1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{-3}$$

  • 参数方程
    $$\begin{gathered} x-1=4t \\ y=-t \\ z+2=-3t \\ 即 \\ x=4t+1 \\ y=-t \\ z=-3t-2 \end{gathered}$$

两直线夹角

• 两直线的夹角主要借助于直线的方向向量来讨论的

• 设直线$L_i$的方向向量为${\mathbf{s}}_i=(m_i,n_i,p_i),i=1,2$

• 两直线夹角与在讨论平面的夹角(借助于平面的法向量)时的过程相仿

• 设直线$L_1,L_2$的夹角为$\theta ,\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$(直线相交产生2组对顶角,夹角一般取较小的一组,两组对顶角分别设为${\theta }_1,{\theta }_2$,则${\theta }_1+{\theta }_2=\pi$,$\cos \theta =|\cos {\theta }_1|=|\cos {\theta }_2|$)

• $$\frac{|m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$$

两直线的位置关系

• 参考平面位置关系一节
• $L_1//L_2$,${\mathbf{s}}_1\cdot {\mathbf{s}}_2=0$
• $L_1\perp L_2$,$\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}$(注意约定的潜在含义)

直线与平面的夹角

• 直线和平面的夹角$\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$

  • 当直线和平面不垂直的时候($\theta \in [0,\frac{\pi }{2})$,直线$L$在$\Pi$上的投影线$L_p$的夹角称为直线$L$和平面$\Pi$的夹角
  • 否则规定夹角为$\frac{\pi }{2}$

• 依然借助于平面的法向量(以及直线的方向向量)来研究线面角

• $\alpha =<L,\mathbf{s}>$;$\theta =<L,\Pi >$;

• $\alpha \in [0,\pi ]$,

  • 向量间夹角范围$[0,\pi ]$
  • 直线与直线,直线与平面的夹角范围$[0,\frac{\pi }{2}]$

• 取$\delta =\min (\alpha ,\pi -\alpha )$,则$\delta ,\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$

• $\delta +\theta =\frac{\pi }{2}$

• 对于$\cos \alpha$可以用向量间夹角余弦公式直接计算出来

• $|\cos \alpha |=\cos \delta =\sin \theta$,即:

  • $$\sin \theta =|\cos \alpha |=\frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+m^2+p^2}}$$

线面位置关系

• 设有直线$L$及其方向向量$\mathbf{s}=(m,n,p)$,平面$\Pi$及其法向量$\mathbf{n}=(A,B,C)$

线面垂直

• $L\perp \Pi \iff \mathbf{s}//\mathbf{n}$,即$\mathbf{s}\times n$

  • $$\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{n}$$

线面平行

• $L//\Pi \iff \mathbf{s}\perp \mathbf{n}$,即$\mathbf{s}\cdot \mathbf{n}=0$

  • $$Am+Bn+Cp=0$$