高等工程数学 —— 第二章 (1) Smith标准型与Jordan标准型

高等工程数学 —— 第二章 (1) Smith标准型与Jordan标准型

文章目录

  • 高等工程数学 —— 第二章 (1) Smith标准型与Jordan标准型
    • 不变因子与Smith标准型
    • 行列式因子
      • 行列式因子与不变因子的关系
    • 初等因子与Jordan标准型
      • 求Jordan标准型与相似变换矩阵

不变因子与Smith标准型

将某矩阵通过初等行(列)变换,变换规则如下:
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注意:
某行(列)只能倍乘常数,只有在加到另一行时能够倍乘含 λ \lambda λ的表达式。你想想,要不形如(0,0, λ \lambda λ)时你全给 λ \lambda λ消成1了。

最后如果能将该矩阵化作如下形式:
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  • 这里只存在对角线元素有非0元素。其中 d i ( λ ) ∣ d i + 1 ( λ ) d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda) di(λ)di+1(λ)代表 d i ( λ ) d_i(\lambda) di(λ)能够整除 d i + 1 ( λ ) d_{i+1}(\lambda) di+1(λ)
  • 这里对角线后面几个元素可以为0

此时,我们将 d i ( λ ) d_i(\lambda) di(λ)叫做不变因子。上述变换后得到的矩阵称为Smith标准型。

例:
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初等变换过程如下:
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注意:我们需要 d i ( λ ) d_i(\lambda) di(λ)为首项系数为1.
高等工程数学 —— 第二章 (1) Smith标准型与Jordan标准型_第5张图片
这里我们发现 d i ( λ ) d_i(\lambda) di(λ)能够整除 d i + 1 ( λ ) d_{i+1}(\lambda) di+1(λ)。(例如: λ \lambda λ能够整除 λ 3 + λ \lambda^3+\lambda λ3+λ λ 3 + λ \lambda^3+\lambda λ3+λ能够被 λ \lambda λ整除)

行列式因子

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  • 简单说就是把每一阶的行列式值求一下,然后 k k k阶行列式的所有非0值中的最大公因式就是 k k k阶行列式因子的值。

例如:
( λ 2 0 0 0 0 λ 2 − λ 0 0 0 0 ( λ − 1 ) 2 0 0 0 0 λ 2 − λ ) \begin{pmatrix} \lambda^2 & 0 & 0 &0\\ 0 & \lambda^2- \lambda& 0 &0\\ 0 & 0 &(\lambda-1)^2 &0\\ 0 & 0 & 0 &\lambda^2- \lambda\\ \end{pmatrix} λ20000λ2λ0000(λ1)20000λ2λ

先取各阶行列式所有的非0值:

4阶: λ 4 ( λ − 1 ) 4 \lambda^4(\lambda-1)^4 λ4(λ1)4
3阶: λ 3 ( λ − 1 ) 3 , λ 4 ( λ − 1 ) 2 , λ 2 ( λ − 1 ) 3 \lambda^3(\lambda-1)^3,\lambda^4(\lambda-1)^2,\lambda^2(\lambda-1)^3 λ3(λ1)3λ4(λ1)2λ2(λ1)3
2阶: λ 3 ( λ − 1 ) , λ 2 ( λ − 1 ) 2 , λ ( λ − 1 ) 3 \lambda^3(\lambda-1),\lambda^2(\lambda-1)^2,\lambda^(\lambda-1)^3 λ3(λ1)λ2(λ1)2λ(λ1)3
1阶: λ 2 , λ ( λ − 1 ) , ( λ − 1 ) 2 \lambda^2,\lambda(\lambda-1),(\lambda-1)^2 λ2λ(λ1)(λ1)2

之后我们取各阶最大公因子:
D 4 = λ 4 ( λ − 1 ) 4 D_4 = \lambda^4(\lambda-1)^4 D4=λ4(λ1)4
D 3 = λ 2 ( λ − 1 ) 2 D_3 = \lambda^2(\lambda-1)^2 D3=λ2(λ1)2
D 2 = λ ( λ − 1 ) D_2 = \lambda(\lambda-1) D2=λ(λ1)
D 1 = 1 D_1 = 1 D1=1

其中 D i D_i Di即为行列式因子。

行列式因子与不变因子的关系

在这里插入图片描述
可见我们将行列式因子除一下就能得到不变因子:
d 4 = λ 2 ( λ − 1 ) 2 d_4 = \lambda^2(\lambda-1)^2 d4=λ2(λ1)2
d 3 = λ ( λ − 1 ) d_3 = \lambda(\lambda-1) d3=λ(λ1)
d 2 = λ ( λ − 1 ) d_2 = \lambda(\lambda-1) d2=λ(λ1)
d 1 = 1 d_1 = 1 d1=1

因此我们可以求得例题中矩阵的Smith标准型为:
( 1 0 0 0 0 λ ( λ − 1 ) 0 0 0 0 λ ( λ − 1 ) 0 0 0 0 λ 2 ( λ − 1 ) 2 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0\\ 0 & \lambda( \lambda-1)& 0 &0\\ 0 & 0 &\lambda( \lambda-1) &0\\ 0 & 0 & 0 &\lambda^2( \lambda-1)^2\\ \end{pmatrix} 10000λ(λ1)0000λ(λ1)0000λ2(λ1)2

这也为我们提供了一个求解不变因子的便捷方法,如果通过初等行变换那么太慢了且容易出错。

如果我们对于次高阶行列式存在一个不含 λ \lambda λ的常数或者两个不含公因子的行列式值,那么我们取该阶最大公因式的时候就只能取1.之后低阶的最大公因子也只能取1,因为这样才能和次高阶的1整除。

例如:
( λ − 1 − 1 0 − 6 λ − 2 0 0 − 1 λ + 1 ) \begin{pmatrix} \lambda-1 & -1 & 0 \\ -6 & \lambda-2 & 0 \\ 0 & -1 & \lambda+1 \\ \end{pmatrix} λ1601λ2100λ+1

其中 D 3 = ( λ + 1 ) 2 ( λ − 4 ) D_3 = (\lambda+1)^2(\lambda-4) D3=(λ+1)2(λ4)

对于二阶行列式值有 D 13 D_{13} D13 = ∣ 6 λ − 2 0 − 1 ∣ = 6 \begin{vmatrix} 6 & \lambda-2 \\ 0 & -1 \\ \end{vmatrix} = 6 60λ21 =6

所以, D 2 = D 1 = 1 D_2 = D_1 = 1 D2=D1=1。除一下易得不变因子为 ( λ + 1 ) 2 ( λ − 4 ) , 1 , 1 (\lambda+1)^2(\lambda-4),1,1 (λ+1)2(λ4)11

该方法试用与有较多0元素时,我们可以比较容易得出次高阶行列式是常数的情况。

初等因子与Jordan标准型

初等因子就是将次数大于0的不变因子分解为互不相同的一次因式方幂的乘积。

例如:

不变因子为: ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 ( λ + 1 ) , ( λ − 1 ) 2 ( λ + 1 ) ( λ 2 + 1 ) 2 (\lambda-1)^2,(\lambda-1)^2(\lambda+1),(\lambda-1)^2(\lambda+1)(\lambda^2+1)^2 (λ1)2(λ1)2(λ+1)(λ1)2(λ+1)(λ2+1)2

初等因子为: ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ + 1 ) , ( λ + 1 ) , ( λ + i ) 2 , ( λ − i ) 2 (\lambda-1)^2,(\lambda-1)^2,(\lambda-1)^2,(\lambda+1),(\lambda+1),(\lambda+i)^2,(\lambda-i)^2 (λ1)2(λ1)2(λ1)2(λ+1)(λ+1)(λ+i)2(λi)2

对于求初等因子我们有以下三种方法:
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  • 用初等行变换成Smith标准型求不变因子,然后求初等因子

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  • 用初等行变换成对角矩阵,然后分解对角元素成初等因子
  • 化成对角矩阵后不用疑惑为啥没有整除关系,我们这里并没有构造Smith标准型哦

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  • 该方法就是我之前说的简单方法,不一定每个都能用。

Jordan标准型的求法

第一步就是求出 λ I − A \lambda I - A λIA的初等因子。

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  • 只要Jordan块对了就行,顺序可以改变。

例1:
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高等工程数学 —— 第二章 (1) Smith标准型与Jordan标准型_第13张图片
高等工程数学 —— 第二章 (1) Smith标准型与Jordan标准型_第14张图片例2:
高等工程数学 —— 第二章 (1) Smith标准型与Jordan标准型_第15张图片高等工程数学 —— 第二章 (1) Smith标准型与Jordan标准型_第16张图片高等工程数学 —— 第二章 (1) Smith标准型与Jordan标准型_第17张图片高等工程数学 —— 第二章 (1) Smith标准型与Jordan标准型_第18张图片高等工程数学 —— 第二章 (1) Smith标准型与Jordan标准型_第19张图片
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求Jordan标准型与相似变换矩阵

高等工程数学 —— 第二章 (1) Smith标准型与Jordan标准型_第23张图片高等工程数学 —— 第二章 (1) Smith标准型与Jordan标准型_第24张图片高等工程数学 —— 第二章 (1) Smith标准型与Jordan标准型_第25张图片高等工程数学 —— 第二章 (1) Smith标准型与Jordan标准型_第26张图片
之后将值代进去然后再设几个 x i x_i xi的值就可得到 P = ( 1 0 0 − 1 − 1 1 2 1 0 ) P= \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ -1 & -1 &1 \\2 & 1 & 0 \end{pmatrix} P= 112011010 。P是不唯一的哈。

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