算法基础之容斥原理、博弈论

1、容斥原理

1.1、能被整除的数

#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 20;

int p[N];


int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    for (int i = 0; i < m; i ++ ) cin >> p[i];

    int res = 0;
    //1左移m位等同于2的m次方
    for (int i = 1; i < 1 << m; i ++ )
    {
    	//t当前所有质数的乘积
    	//s当前选法中有几个集合
        int t = 1, s = 0;
        //从0开始枚举m位
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
        	//当前这位是1	
            if (i >> j & 1)
            {
                if ((LL)t * p[j] > n)
                {
                    t = -1;
                    break;
                }
                t *= p[j];
                s ++ ;
            }

        if (t != -1)
        {
       		//判断奇偶性  ，奇加 偶减
            if (s % 2) res += n / t;
            else res -= n / t;
        }
    }

    cout << res << endl;

    return 0;
}

2、博弈论

2.1、Nim游戏

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;


int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);

    int res = 0;
    while (n -- )
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        res ^= x;
    }

    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");

    return 0;
}

2.2、台阶Nim游戏

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        if (i % 2) res ^= x;
    }

    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");

    return 0;
}

2.3、集合Nim游戏

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 110, M = 10010;

int n, m;
//s表示 可选择石子的个数
//f表示sg的值
int s[N], f[M];


int sg(int x)
{
	//保证只搜索一次
    if (f[x] != -1) return f[x];
	//可以到的所有局面
    unordered_set<int> S;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
    //枚举可以选择的石子个数
        int sum = s[i];
        if (x >= sum) S.insert(sg(x - sum));
    }
	//求mes值，当前集合中不存在的最小自然数
    for (int i = 0; ; i ++ )
        if (!S.count(i))
            return f[x] = i;
}


int main()
{
	
    cin >> m;
    for (int i = 0; i < m; i ++ ) cin >> s[i];
    //每一堆石子的个数
    cin >> n;

    memset(f, -1, sizeof f);

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int x;
        cin >> x;
        res ^= sg(x);
    }

    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");

    return 0;
}

2.4、拆分Nim游戏

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 110;


int n;
//每一个值的sg
int f[N];


int sg(int x)
{
    if (f[x] != -1) return f[x];

    unordered_set<int> S;
    //枚举一下，可以变成哪些局面。当前局面的sg值
    //第一堆
    for (int i = 0; i < x; i ++ )
    	//第二堆 避免重复 《=第一堆
        for (int j = 0; j <= i; j ++ )
            S.insert(sg(i) ^ sg(j));

    for (int i = 0;; i ++ )
        if (!S.count(i))
            return f[x] = i;
}


int main()
{
    cin >> n;

    memset(f, -1, sizeof f);

    int res = 0;
    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;
        res ^= sg(x);
    }

    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");

    return 0;
}