基础30讲 第18讲 三重积分、曲线曲面积分

综述 区别于数一数二 以计算为主

1、三重积分

1.1 三重积分的概念性质与对称性

1.1.1 概念

1.1.2 性质

1.1.3 对称性

普通对称性

轮换对称性

1.2 三重积分的计算 （化为定积分+二重积分）

1.2.1基础方法

直角坐标系 （投影穿线法）

先一后二法

先二后一法（定限截面法）

柱面坐标系（投影是部分圆，类似二重积分的极坐标系积法）

球面坐标系（知道积分过程，xyz dv 的表示方式）

1.2.2技术方法

对称性

形心公式的逆用

2、第一型曲线积分

2.1 概念性质与对称性

2.1.1 概念

2.1.2 性质

2.1.3 对称性

普通对称性

轮换对称性

2.2 计算

2.2.1基础方法（化为定积分）

平面情形

显式（数一数二专项的弧长积分中学习过）

参数式

极坐标形式

空间情形

参数式

2.2.2 技术方法

边界方程代入被积函数

对称性

形心公式的逆用

普通对称性应用的习题

轮换对称性应用的习题

3、第一型曲面积分

3.1 概念性质与对称性

3.1.1 概念

3.1.2 性质

3.1.3 对称性

普通对称性

轮换对称性

3.2 计算 (12/5)

3.2.1基础方法（化为二重积分）

3.2.2 技术方法

边界方程代入被积函数

对称性

形心公式的逆用

4、应用(二重积分 三重积分 曲线曲面积分)

4.1 几何量

平面区域(面积)

空间区域（体积）

空间曲线（弧长）

空间曲面（面积）

4.2 重心（质心）与形心

平面薄面

空间物体质心

空间物体形心

空间曲线

空间曲面

4.3 转动惯量

平面薄面

空间物体

空间曲线

空间曲面

4.4 引力

平面薄面

空间物体

空间曲线

空间曲面

5、第二型曲线积分

5.1 概念与性质

场的概念

变力沿曲线做功

第二性曲线积分的概念

5.2 平面第二型曲线积分的计算

基本方法（化为定积分）

写成直角坐标系下的

第二性曲线积分的性质

格林公式

5.3 空间第二型曲线积分的计算

斯托克公式

6、第二型曲面积分

6.1 概念与性质

向量场的通量

第二型曲面积分的概念

第二型曲面积分的性质

6.2 计算

基本方法（化为二重积分）

高斯公式