力扣算法刷题Day41｜动态规划：整数拆分 不同的二叉搜索树

力扣题目：#343. 整数拆分 

刷题时长：参考答案后10min

解题方法：动态规划

复杂度分析

• 时间O(n^2)
• 空间O(n)

问题总结

• 思路不清

本题收获

• 动规思路：两层for循环，第一个i循环从小到大枚举n之前的数字，第二个j循环枚举拆分i的第一个整数
  • 确定dp数组及下标的含义：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]
  • 确定递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j}) 
    • 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * (i-j)
    • 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * dp[i-j]
  • dp数组的初始化：dp[0] = 0, dp[1] = 0, dp[2] = 1. 严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。
  • 确定遍历顺序：dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]
• 优化：第二个循环可以优化循环j 的右边界为i//2+1，因为拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的

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力扣题目：#96.不同的二叉搜索树

刷题时长：参考答案后5min

解题方法：动态规划

复杂度分析

• 时间O(n^2)
• 空间O(n)

问题总结

• 思路不清

本题收获

• 动规思路：两层for循环，i从小到大枚举n之前的数字，j枚举根节点的所有数值
  • 确定dp数组及下标的含义：1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]
  • 确定递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]
    • j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量​​​​​​，利用动态规划的思想，累加左子树和右子树的组合数量。
  • dp数组的初始化：dp[0] = 1 空节点也是一棵二叉树
  • 确定遍历顺序：节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态，那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。