05 指数函数求导

2^x的求导

前面我们探索了一些常见函数的导数，但是指数函数是非常重要的一种类型。

1. 从几何上探索

设t为天数，P(t)为人口数量。离散的图

要想图像连续就得转成质量，所以P(t)换成M(t)。dM/dt就是质量的微小变化率和天数的微小变化量的比例。

通过计算我们感觉每天的增长率和函数自身相等，就猜测导数是不是等于函数自身呢？

但这种猜想不能确定对，我们上面算的是1天的变化率，而导数是dt小之又小的情况下的比率。

这里开讲人提到并不能找到一个图直接阐述这一过程，所以下面就用代数法。

2. 从代数上探索

第一步把2^(t+dt)展成乘法形式

第二步转成下面形式，注意后一项包含了所有dt，所以前一项和dt无关了

你用计算器一算会发现这个数逼近于0.6931，所以导数就是2^t * c

在坐标轴上表示如下。

3^t算算就是下面这个了，乘的系数变了。

8^t下如图所示

你可能会发现8的情况正好是2的3倍，但是2和0.6931啥关系，8和2.0794啥关系呢?下面开始探究

3.找到一个特殊的数e

首先找到一个底数使系数为1.

其实e就是为此定义的数。

你要是问e为啥有这个性质，就像问π为啥是周长和直径的比率。这些数就是这样定义的，没为啥

4.利用e来求导

既然找到了e，下面就利用这个e来求普通指数函数的导数。

首先用链式法则求出e^ct的导数，再把2^t表示成e的形式

2^t的导数自然就出来了

声明一下，平时你见不到a^t的形式，因为都可以写成e^ct的形式，这倒是没发现啊

将指数函数写成e为底的形式是非常正常的，因为k就是上面讨论的那个常数，代表变化率(导数)是其当前自身数量的倍数。

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感悟

本节就只讨论了指数函数求导咋来的，以及平常指数函数为啥写成以e为底。