用Prim算法和Kruskal算法构造最小生成树

用Prim算法和Kruskal算法构造最小生成树

1.问题
在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。

①用Prim算法构造最小生成树：从所有 u∈U，v∈V－U 的边中，选取具有最小权值的边（u，v），将顶点 v 加入集合 U 中，将边（u，v）加入集合 T 中，如此不断重复，直到 U＝V 时，最小生成树构造完毕，这时集合 T 中包含了最小生成树的所有边。
②用Kruskal算法构造最小生成树：设无向连通网为 G＝（V，E），令 G 的最小生成树为 T，其初态为 T＝（V，{}），即开始时，最小生成树 T 由图 G 中的 n 个顶点构成，顶点之间没有一条边，这样 T 中各顶点各自构成一个连通分量。然后，按照边的权值由小到大的顺序，考察 G 的边集 E 中的各条边。若被考察的边的两个顶点属于 T 的两个不同的连通分量，则将此边作为最小生成树的边加入到T 中，同时把两个连通分量连接为一个连通分量；若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路，如此下去，当 T 中的连通分量个数为 1 时，此连通分量便为 G 的一棵最小生成树。
2.解析
Prim算法

Kruskal算法

[问题的理解和推导，可用电子版直接在此编写，也可用纸笔推导，拍照嵌入本文档]
3.设计
Prim算法：
For(遍历所有点）{
Lowcost存储v0与所有相邻边的权值；
adjvex初始化为v0的下标
}
For（遍历所有点i）{
While（遍历所有点j）//得点i的所有邻边
{
if(){该边权值最小，min=该权值，k=j}
J++;
}//找到最小权值
Printf(该点中找到的min的边)
Lowcost[k]=0;
重复如上遍历邻接矩阵k行；
（1） 定义min存取最小权值，lowcost[]、adjvex[]分别存权值和顶点下标；
（2） For循环遍历所有与v0相邻的边，并初始化全部顶点为v0下标；
（3） 初始化最小权值为最大的不可能值，遍历全部顶点，找到最小权值；
（4） 打印当前顶点边中权值最小的边，邻接矩阵逐个遍历全部顶点，将较小的权值存入lowcost[]，将下标为k的顶点存入adjvex中。

Kruskal算法：
Int sortEdges{
Min=最小权值边；
Key=最小权值边的权值；
While(l //二分法排序按权值将边排序
}
a[]存储所有点
While(遍历所有边){
v1,v2=本次遍历所取边的两个邻接点
If(a[v1]!=a[v2])//不是贿赂
{
Printf(该边)
生成边数增加；
边数大于总边数结束遍历；
}
每次遍历将第一个邻接点替换为第二个，重复遍历以上；
（1）新建图存储所有节点；
（2）将原图中所有的边按权值从小到大排序；
（3）从权值最小的边开始，如果这条边连接的两个节点于图中不在同一个连通分量中，就添加这条边到图中；
（4）循环3，直至图中所有的节点都在同一个连通分量中
4.分析
Prim算法：
设连通网中有 n 个顶点，则第一个进行初始化的循环语句需要执行 n-1 次，第二个循环共执行 n-1 次，内嵌两个循环，其一是在长度为 n 的数组中求最小值，需要执行 n-1 次，其二是调整辅助数组，需要执行 n-1 次，所以，Prim 算法的时间复杂度为O(n2)。
Kruskal算法：
先将图G中的边按代价从小到达排序，则这个操作的时间复杂度为O(elog2e)，其中e为无向连通网中边的个数。对于两个顶点是否属于同一个连通分量，可以用并查集的操作将其时间性能提高到O(n)，所以Kruskal算法的时间性能是O(elog2e)O(elog2e)。
5.源码
https://github.com/Marvisss/-Prim-Kruskal-