对称和隐对称

对称和隐对称(hidden symmetry)

平坦的四维空间的对称有10个，四个方向的平移，还有6个转动。这些对称构成了一个群，也就是说任意对称操作的组合还是一个对称操作，每一个对称操作都有一个逆操作还原系统。每一个对称都对应了一个坐标，比如表示平移的的(t,x,y,z)，或是沿x轴转动的角度等等。但是4维空间只需要4个坐标就可以表示，我们应该选取哪个4个呢？首先并不是任意4个都是可以的，他们必须是独立的。很明显x和y是相互独立的，选择这两个后，你就不能再选取x,y平面的转动角了作为坐标了，因为你可以用x方向的平移加上合适的转动角度从而得到y方向上平移。同样的道理，你不能同时选取x,y,z为轴的三个方向的转动。你可以尝试想象，只需要其中任意的两个，所有在x,y,z空间的转动都可以构造出来。独立性也就对易性，两个操作对易就是说，不管你用先做那个后做那个操作，做完这两个操作的结果一样。如果两个对称不对易，那么不同的操作的顺序所导致的后果也不同，但是不同的后果也可以通过一个对称操作相互转换。所以独立性就要求，选取的任意一个对称都不能其他选取的对称通过组合得到。
但是只有独立性的话，还是有很多选择。理论上来讲，每一个选择都是可以的。但是我们想选取一个组简单的坐标，最后对于时空的描述在形式上简单的。不管是描述平坦或是弯曲的时空都可以用度规。度规就是你如何在不同的地点定义长度。如果在任何地点，都可以统一定义长度，那么空间就是平坦的。对于弯曲的时空，长度的标准在不同的点就可能不一样。比如在引力强的地方也就是时空弯曲程度大的地方，时间会变慢。这样你的度规就和地点有关，也就是依赖坐标变化。可是并不是说如果你拿到一个依赖坐标变化的度规就说明，这个时空是弯曲的。那我们怎样去判断时空到底弯曲还是平坦呢？最直接的是我们可以计算曲率。但是我们也可以通过对称性，如果我们找到4个互相独立的对称操作，那么这个空间必定是平坦的，因为我们选取这个操作作为坐标，因为他们互相对立，长度沿某一个坐标的变化都只与那个方向有关，因为那个方向又是对称的，所以长度不会变化，结果就是度规和任意一个坐标都无关。
那么问题就是，给定任意度规，我们怎么去寻找对称性？一般时空的对称方向又称作Killing向量(有点帅气的名字)。从刚刚的分析已经知道，度规在对称的方向上是不会变化的，这就是Killing方程。对称性都对应了一个守恒量。如果考虑自由粒子在这个时空运动，那么粒子沿着Killing方向的动量就是守恒的。如果在n维空间里有n个独立的Kiling向量，那么粒子的轨迹可以很简单的得到，因为这相当于，在任意方向的一个匀速的运动，轨迹可以由简单的积分得到。
如果时空不存在任何的Killing向量，那么自由粒子的轨迹往往是很难求的，需要解偏微分方程，偏微分方程可能最物理学头疼的东西，每一个偏微分方程的求解都像一种技艺或是艺术。
但是还存在另外一种情况，运动轨迹也变得相对容易得到。就是时空存在Kiling张量(Kiling Tensor)。Kiling张量并不直接反映了时空的对称性，但却是自由粒子在这个时空的运动轨迹的对称性。当n维时空具有n个独立的Killing张量的时候，运动轨迹的偏微分方程可以分解为n个常微分方程，这种情况叫做分离变量，常微分方程的求解要容易得多。而且Kiling张量也对应了运动的守恒量，这个守恒量是有关动量的多项式。Kiling张量也称为隐对称性。
Killing tensor还有先关的Killing-Yano form都是很强大的工具，我特别感兴趣的点是，这些隐对称性和群论之间的联系，Killing tensor 或是分离变量背后有没有更深层更一般的理论。比如在弦论里面，可以对Killing direction做T-duality得到一个不同的时空背景，但是弦在这两个时空的运动的情况是等价的。那么问题就是对于Killing tensor是否存在类似的对偶情况。
还有时空的对称性对应了弦论世界膜（worldsheet）上的gauge symmetry，那么隐对称有类似的弦论上的对称吗？考虑弦论在群空间或是陪集(coset)的运动可以很容易构造具有各种对称的空间，是否存在类似的用来构造具有Kiling Tensor 隐对称的方法呢。
看了2篇最近的隐对称的综述后，还是只有一些记问之学，没有一个内化的理解。。。。