【离散数学】和gpt讨论题目1
对于给定的A、B和f，判断f是否为从A到B的函数：f：A→B.如果是，说明f是否为单射、满射、双射的.
A=Z笛卡尔积N，B=Q，f(
首先，需要检查 f f f 是否是从 A A A 到 B B B 的函数。 A A A 是由整数集 Z \mathbb{Z} Z 和自然数集 N \mathbb{N} N 的笛卡尔积构成的集合，其中元素是有序对 ⟨ x , y ⟩ \langle x,y\rangle ⟨x,y⟩， x ∈ Z x\in\mathbb{Z} x∈Z， y ∈ N y\in\mathbb{N} y∈N。 B B B 是有理数集 Q \mathbb{Q} Q。对于任意 ⟨ x , y ⟩ ∈ A \langle x,y\rangle\in A ⟨x,y⟩∈A， f f f 的定义为 f ( ⟨ x , y ⟩ ) = x / ( y + 1 ) f(\langle x,y\rangle)=x/(y+1) f(⟨x,y⟩)=x/(y+1)。因此，需要检查 f f f 是否满足函数的定义：
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对于任意 ⟨ x , y ⟩ ∈ A \langle x,y\rangle\in A ⟨x,y⟩∈A， f f f 都将 ⟨ x , y ⟩ \langle x,y\rangle ⟨x,y⟩ 映射到 B B B 中的某个元素 b ∈ B b\in B b∈B 上，即 f ( ⟨ x , y ⟩ ) = x / ( y + 1 ) f(\langle x,y\rangle)=x/(y+1) f(⟨x,y⟩)=x/(y+1)。
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对于 A A A 中的任意两个不同元素 ⟨ x 1 , y 1 ⟩ \langle x_1,y_1\rangle ⟨x1,y1⟩ 和 ⟨ x 2 , y 2 ⟩ \langle x_2,y_2\rangle ⟨x2,y2⟩，它们的像 f ( ⟨ x 1 , y 1 ⟩ ) f(\langle x_1,y_1\rangle) f(⟨x1,y1⟩) 和 f ( ⟨ x 2 , y 2 ⟩ ) f(\langle x_2,y_2\rangle) f(⟨x2,y2⟩) 必须不同，即 f ( ⟨ x 1 , y 1 ⟩ ) ≠ f ( ⟨ x 2 , y 2 ⟩ ) f(\langle x_1,y_1\rangle) \neq f(\langle x_2,y_2\rangle) f(⟨x1,y1⟩)=f(⟨x2,y2⟩)。
对于条件1，显然对于任意 ⟨ x , y ⟩ ∈ A \langle x,y\rangle\in A ⟨x,y⟩∈A， f f f 都将 ⟨ x , y ⟩ \langle x,y\rangle ⟨x,y⟩ 映射到 B B B 中的一个有理数 b = x / ( y + 1 ) b=x/(y+1) b=x/(y+1) 上，因此 f f f 是从 A A A 到 B B B 的函数。
对于条件2，如果存在 ⟨ x 1 , y 1 ⟩ \langle x_1,y_1\rangle ⟨x1,y1⟩ 和 ⟨ x 2 , y 2 ⟩ ∈ A \langle x_2,y_2\rangle\in A ⟨x2,y2⟩∈A，使得它们不同但它们的像相同，即：
f ( ⟨ x 1 , y 1 ⟩ ) = x 1 y 1 + 1 = x 2 y 2 + 1 = f ( ⟨ x 2 , y 2 ⟩ ) f(\langle x_1,y_1\rangle)=\frac{x_1}{y_1+1}=\frac{x_2}{y_2+1}=f(\langle x_2,y_2\rangle) f(⟨x1,y1⟩)=y1+1x1=y2+1x2=f(⟨x2,y2⟩)
那么有：
x 1 ( y 2 + 1 ) = x 2 ( y 1 + 1 ) x_1(y_2+1)=x_2(y_1+1) x1(y2+1)=x2(y1+1)
因为 x 1 x_1 x1、 x 2 x_2 x2 是整数， y 1 + 1 y_1+1 y1+1、 y 2 + 1 y_2+1 y2+1 是自然数，所以 x 1 ( y 2 + 1 ) x_1(y_2+1) x1(y2+1) 和 x 2 ( y 1 + 1 ) x_2(y_1+1) x2(y1+1) 都是整数。因此，上式说明 x 1 ( y 2 + 1 ) x_1(y_2+1) x1(y2+1) 和 x 2 ( y 1 + 1 ) x_2(y_1+1) x2(y1+1) 相等，这意味着 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2 乘以一个正整数后相等，因此 x 1 = x 2 x_1=x_2 x1=x2。但是，由于 y 1 ≠ y 2 y_1\neq y_2 y1=y2，所以 y 1 + 1 ≠ y 2 + 1 y_1+1\neq y_2+1 y1+1=y2+1，因此 f ( ⟨ x 1 , y 1 ⟩ ) ≠ f ( ⟨ x 2 , y 2 ⟩ ) f(\langle x_1,y_1\rangle)\neq f(\langle x_2,y_2\rangle) f(⟨x1,y1⟩)=f(⟨x2,y2⟩)，与假设矛盾。
因此， f f f 是从 A A A 到 B B B 的函数，并且是单射。要判断 f f f 是否是满射或双射，可以进一步做如下讨论：
- f f f 是满射吗？
一个函数 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B 是满射，当且仅当对于任意 b ∈ B b\in B b∈B，都存在 a ∈ A a\in A a∈A 使得 f ( a ) = b f(a)=b f(a)=b。换句话说， f f f 是满射，当且仅当 B B B 中的每个元素都是 f ( A ) f(A) f(A) 中的元素。
在本题中， B B B 是有理数集 Q \mathbb{Q} Q，而 f ( A ) f(A) f(A) 是所有形如 x / ( y + 1 ) x/(y+1) x/(y+1) 的数的集合，其中 x ∈ Z x\in\mathbb{Z} x∈Z， y ∈ N y\in\mathbb{N} y∈N。显然，如果 y + 1 y+1 y+1 取值越大， x / ( y + 1 ) x/(y+1) x/(y+1) 的取值范围就越小，因此 f ( A ) f(A) f(A) 中不包含所有的有理数。因此， f f f 不是满射。
- f f f 是双射吗？
一个函数 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B 是双射，当且仅当它既是单射又是满射。根据上面的讨论， f f f 是单射，但不是满射。因此， f f f 不是双射。
因此，综上所述，函数 f : Z × N → Q f:\mathbb{Z}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q} f:Z×N→Q， f ( ⟨ x , y ⟩ ) = x / ( y + 1 ) f(\langle x,y\rangle)=x/(y+1) f(⟨x,y⟩)=x/(y+1) 是从 Z × N \mathbb{Z}\times\mathbb{N} Z×N 到 Q \mathbb{Q} Q 的函数，它是单射，但不是满射和双射。
为啥不会存在f（<0,2>）=f（<0,1>)=0从而不是单射的情况呢
非常感谢您的指正和提醒。您是正确的，我之前的回答中犯了一个错误。函数 f f f 不是单射。
事实上，对于任意 n ∈ N n\in\mathbb{N} n∈N，有 f ( ⟨ 0 , n ⟩ ) = 0 f(\langle 0,n\rangle) = 0 f(⟨0,n⟩)=0，因此 f f f 不是单射。具体而言， f ( ⟨ 0 , 1 ⟩ ) = 0 f(\langle 0,1\rangle) = 0 f(⟨0,1⟩)=0， f ( ⟨ 0 , 2 ⟩ ) = 0 f(\langle 0,2\rangle) = 0 f(⟨0,2⟩)=0，但 ⟨ 0 , 1 ⟩ ≠ ⟨ 0 , 2 ⟩ \langle 0,1\rangle \neq \langle 0,2\rangle ⟨0,1⟩=⟨0,2⟩。
对于满射和双射的讨论，我的结论仍然是正确的。由于 f f f 不是单射，它不可能是双射。同时，由于 f ( A ) f(A) f(A) 中不包含所有的有理数， f f f 也不是满射。
再次感谢您的指正，希望我的回答能够更加准确地回答您的问题。