耶鲁大学 博弈论(Game Theory) 笔记2-学会换位思考

学会换位思考

如何形成博弈

博弈组成要素

1. 参与者$i,j$
2. 策略$s_i,s_j$
3. 策略合集$S_i,S_j$:参与者所有可能策略的集合。
4. 某一次博弈$s$(策略组合，策略向量或策略列表)
5. 收益$U_i=(s_1,\cdots ,s_i,\cdots ,s_n$),由所有参与人的策略决定(包括自身策略)。
6. $s_{-i}$表示除了i以外所有参与者的策略

以选数游戏中将博弈表达为：
$$U_i(s)=\{\begin{array}{r}5美元-误差，win\\ 0,otherwise\end{array}$$

在后续中将假设以上为公知信息，每个参与者知道其他人可能选择的策略，其他人的收益。

参与者：1，2
策略合集：$S_1=\{上，下\}$，$S_2=\{左，中，右\}$
收益$U_1(上，中)$=11，$U_1(上，中)$=3

严格优势策略

严格优势策略：参与者$i$的策略$s_i^{\prime }$严格劣于参与者$i$的另一个策略$s_i$，在其他人选择$s_{-i}$时，选择$s_i$的收益$U_i(s_i)$严格优于此情况下选$s_i^{\prime }$的收益$U_i(s_i^{\prime })$，对所有$s_{-i}$均成立。

进攻与防御

举例：如果在hard路上相遇，在行进过程中他将损失1兵力，交战中又损失1兵力。
定义：参与者$i$的策略$s_i^{\prime }$弱于其他策略$s_i$当且仅当对手对手选择$s_{-i}$的情况下，参与者$i$选择$s_i$的收益大于对手选择$s_{-i}$，其选择$s_i^{\prime }$的收益，对任何条件均成立。
$$\begin{gathered} U_i(s_i,s_{-i})⩾U_i(s_i^{\prime },s_{-i})forall{s}_{-i} \\ {U}_i(s_i,s_{-i})>U_i(s_i^{\prime },s_{-i})forsome{s}_{-i} \end{gathered}$$

选数游戏

剔除大于67的数，100的2/3为66，选择大于66的数相当于选择了劣势策略，此时是站在自身角度来考虑。
同理也可以剔除大于45(66的2/3为45)的数，因为在剔除大于67的数后，45到67间的数进而变成了弱劣势策略。此时进入到了第二个过程，在思考时你会发现同伴们同样不会选择劣势策略，因此你同样也不会选择45至67的数。
以此类推最终会得到1.

共同知识与相互知识

共同知识(common knowledge):不只是我知道，而且我是否知道别人也知道。
相互知识(mutual knowledge)：并不是公共知识。例如两个人头上戴着帽子，他们只能看到对方的帽子颜色却不知道自己的，此时双方被告知至少有一个人带着粉色帽子，这个就是相互知识而不是共同知识。