如何用梯度下降法求解数学建模的拟合问题——以logistics增长问题为例

引言

众所周知的是，在大学课程中一般只会教授一种拟合方法(也即参数估计方法)——最小二乘法。这是一种直接求解的方法，非常的有效，不仅是损失最小解，而且是最大似然解。只不过，有一个缺点，它只能解决线性方程参数问题，对于非线性曲线，就无能为力了。大部分情况下还是将其转换成线性问题，再使用最小二乘法。

然而，并非所有的问题都能转换为线性问题，甚至并非所有目标建模公式的参数都能有解析解，其他学科如机器学习等学科如何解决这个参数估计问题？答案是——《最优化方法》，其中最常用的是梯度下降法，不去寻找解析解，而是寻找其导数/梯度。因为导数/梯度具有如下优点

1. 导数/梯度永远指向数值变动最快的方向（梯度的性质）
2. 导数/梯度（除非有边界和断点）永远指向一个到达极值的路径

我们的主要目标是
$$\underset{\theta }{\mathrm{argmin}}L(\theta )=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(y_i-f_{\theta }(x_i){)}^2$$
这是最小二乘问题，也叫均方误差最小化问题。其中$\theta$就是我们想要求的参数。$f_{\theta }(x)$就是我们的模型，即带有参数$\theta$的函数。$x_i,y_i$分别是数据中第$i$对自变量和因变量。$L(\theta )$是损失函数，用来衡量我们拟合的效果。
而梯度下降法的主要内容是
$$\theta \leftarrow \theta -\eta {\nabla }_{\theta }Luntil{\nabla }_{\theta }L=0$$
其中$\eta$是学习率，目的是不要让 $\theta$变动幅度过大（特别是一些有限制的量，比如log函数的底数），导致不能收敛。${\nabla }_{\theta }$是求对 $\theta$的梯度。取负号是因为梯度默认是增大函数值的方向，这里是最小化问题，所以取其相反数。由这里可知，梯度大小不是我们所需要的，我们只要梯度的方向。

问题引入

关于logistics增长问题，是这样的，假设某生物种群数量记为$N$，最开始为常数$N_0$。
假设有未知参数$r$，$K$，其中$r$是固定增长率，表明在没有任何限制的情况下种群数量的增长速度。$K$是环境容纳量，是表明某个环境对生物的限制导致的最大容纳数量。

它们的关系如下
$$\frac{dN}{dt}=r\times N\times (1-\frac{N}{K})$$
我们的数据是按照时间$t_i$记录的种群数量$N_i$。我们的目标就是求出$r$，$K$。
这是一条微分方程。关于它的原函数可以参考我写的另一篇文章
它的图像是这样的
其中$N_0=10,r=1,K=1000$。横坐标是时间$t$，纵坐标是种群数量$N$

链式求导法则

首先，我们先明确实际输出与目标输出，按照logistic公式，我们的输出
$$f_i=f(t_i,N_i)=r\times N_i\times (1-\frac{N_i}{K})$$
我们的目标
$$\frac{dN(t_i)}{d{t}_i}\approx \frac{N_{i+1}-N_i}{t_{i+1}-t_i}$$
如果我们更细究一点，有$\exists t_{{\xi }_i}\in [t_i,t_{i+1}],\frac{dN(t_{{\xi }_i})}{d{t}_{{\xi }_i}}=\frac{N_{i+1}-N_i}{t_{i+1}-t_i}$。我们可以大约令$N_{{\xi }_i}=\frac{N_{i+1}+N_i}{2},t_{{\xi }_i}=\frac{t_{i+1}+t_i}{2}$，将点$(t_{{\xi }_i},N_{{\xi }_i})$对应导数认为$N_{{\xi }_i}^{\prime }\approx \frac{N_{i+1}-N_i}{t_{i+1}-t_i}$。
那么损失函数
$$L(r,K)=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^{n-1}(N_{{\xi }_i}^{\prime }-f(t_{{\xi }_i},N_{{\xi }_i}){)}^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^{n-1}(N_{{\xi }_i}^{\prime }-f_{{\xi }_i}{)}^2$$

在logistics增长问题中，未知量是$r$，$K$，所以我们的目标是求出${\nabla }_{r}L,{\nabla }_{K}L$。
$${\nabla }_{r}L=\frac{\partial L}{\partial r},{\nabla }_{K}L=\frac{\partial L}{\partial K}$$
根据链式求导法则，我们有

$$\frac{\partial L}{\partial r}=\sum _{i=1}^{n-1}\frac{\partial L}{\partial f_{{\xi }_i}}\frac{\partial f_{{\xi }_i}}{\partial r}$$
同理$K$也有类似形式。
而我们有
$$\frac{\partial L}{\partial f_{{\xi }_i}}=-2(N_{{\xi }_i}^{\prime }-f_{{\xi }_i}),\frac{\partial f_{{\xi }_i}}{\partial r}=N_{{\xi }_i}(1-\frac{N_{{\xi }_i}}{K}),\frac{\partial f_{{\xi }_i}}{\partial K}=r\frac{N_{{\xi }_i}^2}{K^2}$$
所以
$$\begin{gathered} {\nabla }_{r}L=\frac{\partial L}{\partial r}=-2\sum _{i=1}^{n-1}(N_{{\xi }_i}^{\prime }-f(t_{{\xi }_i},N_{{\xi }_i}))N_{{\xi }_i}(1-\frac{N_{{\xi }_i}}{K}) \\ {\nabla }_{K}L=\frac{\partial L}{\partial K}=-2\sum _{i=1}^{n-1}(N_{{\xi }_i}^{\prime }-f(t_{{\xi }_i},N_{{\xi }_i}))r\frac{N_{{\xi }_i}^2}{K^2} \end{gathered}$$

实践

首先是数据的生成

import numpy as np
N0=10
K_real=1000
r_real=1
c=math.log(N0/(K_real-N0))

#原函数
def ground_true(t):
    return(K_real/(1+np.exp(-r_real*t-c)))

x=np.arange(0,10,0.1)
y=ground_true(x)

# dN/dt 目标输出
y_diff = (y[1:]-y[:-1])/(x[1:]-x[:-1])

# N_xi 处理后的输入
y_xi = (y[1:]+y[:-1])/2

# 这里不想用n-1，直接以n表示了
n = y_xi.shape[0]

原数据效果就是一开始给的图，而经过处理的数据则是如下效果

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x,y)
plt.plot(x[:-1],y_xi)
plt.show()

定义必要的函数

# 模型
def f(r, K, N):
    return r*N*(1-N/K)
    
# loss函数    
def loss_of_rK(r, K):
    return 1/n*np.sum((y_diff-f(r, K, y_xi))**2)

# ∂L/∂r
def diff_r(r, K):
    return -2.0/n*np.sum((y_diff-f(r, K, y_xi))*y_xi*(1-y_xi/K))

# ∂L/∂K
def diff_K(r, K):
    return -2.0/n*np.sum((y_diff-f(r, K, y_xi))*r*(y_xi**2)/(K**2))

在选择梯度下降法的起点时，尽量靠近最终目标，收敛时间才短。
前面说过，梯度的大小不是我们所关心的内容，所以我加入了一个归一化函数$\arctan$（归一化函数还有很多，如sigmoid等等）用来取出它的方向，用参数本身的绝对值当做步伐大小。（其实这比较像是强行把L2损失改为L1损失）

#初始化
rx = np.random.rand()
Kx = np.random.rand()*np.max(y_xi)#选接近最大值为初始值比较合理

# 学习率
eta = 1e-1
# 误差精度
epsilon= 1
while (loss_of_rK(rx, Kx) > epsilon):
    rx = rx-eta*np.arctan(diff_r(rx, Kx))*np.abs(rx)
    Kx = Kx-eta*np.arctan(diff_K(rx, Kx))*np.abs(Kx)

迭代了41610步，结果为

它的拟合轨迹如下，横轴为r，纵轴为K

需要注意的是，梯度下降法没有办法保证解是最优/解存在/解可达。也没有办法保证收敛。它只是一种凸优化手段。尽管如此，机器学习等学科仍然大量的使用它，俗称炼丹。