数据结构基础-堆
堆实现
计算机科学中，堆是一种基于树的数据结构，通常用完全二叉树实现。堆的特性如下
- 在大顶堆中，任意节点 C 与它的父节点 P 符合 P.value \geq C.value
- 而小顶堆中，任意节点 C 与它的父节点 P 符合 P.value \leq C.value
- 最顶层的节点（没有父亲）称之为 root 根节点
In computer science, a heap is a specialized tree-based data structure which is essentially an almost complete tree that satisfies the heap property: in a max heap, for any given node C, if P is a parent node of C, then the key (the value) of P is greater than or equal to the key of C. In a min heap, the key of P is less than or equal to the key of C. The node at the “top” of the heap (with no parents) is called the root node
例1 - 满二叉树（Full Binary Tree）特点：每一层都是填满的
例2 - 完全二叉树（Complete Binary Tree）特点：最后一层可能未填满，靠左对齐
例3 - 大顶堆
例4 - 小顶堆
完全二叉树可以使用数组来表示
特征
- 如果从索引 0 开始存储节点数据
- 节点 i 的父节点为 floor((i-1)/2)，当 i>0 时
- 节点 i 的左子节点为 2i+1，右子节点为 2i+2，当然它们得 < size
- 如果从索引 1 开始存储节点数据
- 节点 i 的父节点为 floor(i/2)，当 i > 1 时
- 节点 i 的左子节点为 2i，右子节点为 2i+1，同样得 < size
代码
public class PriorityQueue4<E extends Priority> implements Queue<E> {
Priority[] array;
int size;
public PriorityQueue4(int capacity) {
array = new Priority[capacity];
}
@Override
public boolean offer(E offered) {
if (isFull()) {
return false;
}
int child = size++;
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0 && offered.priority() > array[parent].priority()) {
array[child] = array[parent];
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
array[child] = offered;
return true;
}
private void swap(int i, int j) {
Priority t = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = t;
}
@Override
public E poll() {
if (isEmpty()) {
return null;
}
swap(0, size - 1);
size--;
Priority e = array[size];
array[size] = null;
shiftDown(0);
return (E) e;
}
void shiftDown(int parent) {
int left = 2 * parent + 1;
int right = left + 1;
int max = parent;
if (left < size && array[left].priority() > array[max].priority()) {
max = left;
}
if (right < size && array[right].priority() > array[max].priority()) {
max = right;
}
if (max != parent) {
swap(max, parent);
shiftDown(max);
}
}
@Override
public E peek() {
if (isEmpty()) {
return null;
}
return (E) array[0];
}
@Override
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
@Override
public boolean isFull() {
return size == array.length;
}
}
堆
以大顶堆为例，相对于之前的优先级队列，增加了堆化等方法
public class MaxHeap {
int[] array;
int size;
public MaxHeap(int capacity) {
this.array = new int[capacity];
}
/**
* 获取堆顶元素
*
* @return 堆顶元素
*/
public int peek() {
return array[0];
}
/**
* 删除堆顶元素
*
* @return 堆顶元素
*/
public int poll() {
int top = array[0];
swap(0, size - 1);
size--;
down(0);
return top;
}
/**
* 删除指定索引处元素
*
* @param index 索引
* @return 被删除元素
*/
public int poll(int index) {
int deleted = array[index];
swap(index, size - 1);
size--;
down(index);
return deleted;
}
/**
* 替换堆顶元素
* @param replaced 新元素
*/
public void replace(int replaced) {
array[0] = replaced;
down(0);
}
/**
* 堆的尾部添加元素
*
* @param offered 新元素
* @return 是否添加成功
*/
public boolean offer(int offered) {
if (size == array.length) {
return false;
}
up(offered);
size++;
return true;
}
// 将 offered 元素上浮: 直至 offered 小于父元素或到堆顶
private void up(int offered) {
int child = size;
while (child > 0) {
int parent = (child - 1) / 2;
if (offered > array[parent]) {
array[child] = array[parent];
} else {
break;
}
child = parent;
}
array[child] = offered;
}
public MaxHeap(int[] array) {
this.array = array;
this.size = array.length;
heapify();
}
// 建堆
private void heapify() {
// 如何找到最后这个非叶子节点 size / 2 - 1
for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) {
down(i);
}
}
// 将 parent 索引处的元素下潜: 与两个孩子较大者交换, 直至没孩子或孩子没它大
private void down(int parent) {
int left = parent * 2 + 1;
int right = left + 1;
int max = parent;
if (left < size && array[left] > array[max]) {
max = left;
}
if (right < size && array[right] > array[max]) {
max = right;
}
if (max != parent) { // 找到了更大的孩子
swap(max, parent);
down(max);
}
}
// 交换两个索引处的元素
private void swap(int i, int j) {
int t = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = t;
}
public static void main(String[] args) {
int[] array = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
MaxHeap maxHeap = new MaxHeap(array);
System.out.println(Arrays.toString(maxHeap.array));
}
}
建堆
Floyd 建堆算法作者（也是之前龟兔赛跑判环作者）：
- 找到最后一个非叶子节点
- 从后向前，对每个节点执行下潜
一些规律
- 一棵满二叉树节点个数为 2^h-1，如下例中高度 h=3 节点数是 2^3-1=7
- 非叶子节点范围为 [0, size/2-1]
算法时间复杂度分析
下面看交换次数的推导：设节点高度为 3
| 本层节点数 | 高度 | 下潜最多交换次数（高度-1） | |
|---|---|---|---|
| 4567 这层 | 4 | 1 | 0 |
| 23这层 | 2 | 2 | 1 |
| 1这层 | 1 | 3 | 2 |
每一层的交换次数为：节点个数*此节点交换次数，总的交换次数为
\begin{aligned}
& 4 * 0 + 2 * 1 + 1 * 2 \
& \frac{8}{2}*0 + \frac{8}{4}*1 + \frac{8}{8}*2 \
& \frac{8}{2^1}*0 + \frac{8}{2^2}*1 + \frac{8}{2^3}*2\
\end{aligned}
即
\sum_{i=1}{h}(\frac{2h}{2^i}*(i-1))
在 https://www.wolframalpha.com/ 输入
Sum[\(40)Divide[Power[2,x],Power[2,i]]*\(40)i-1\(41)\(41),{i,1,x}]
推导出
2^h -h -1
其中 2^h \approx n，h \approx \log_2{n}，因此有时间复杂度 O(n)
练习
E01. 堆排序
算法描述
- heapify 建立大顶堆
- 将堆顶与堆底交换（最大元素被交换到堆底），缩小并下潜调整堆
- 重复第二步直至堆里剩一个元素
可以使用之前课堂例题的大顶堆来实现
int[] array = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
MaxHeap maxHeap = new MaxHeap(array);
System.out.println(Arrays.toString(maxHeap.array));
while (maxHeap.size > 1) {
maxHeap.swap(0, maxHeap.size - 1);
maxHeap.size--;
maxHeap.down(0);
}
System.out.println(Arrays.toString(maxHeap.array));
E02. 数组中第K大元素-力扣 215 题
小顶堆（可删去用不到代码）
class MinHeap {
int[] array;
int size;
public MinHeap(int capacity) {
array = new int[capacity];
}
private void heapify() {
for (int i = (size >> 1) - 1; i >= 0; i--) {
down(i);
}
}
public int poll() {
swap(0, size - 1);
size--;
down(0);
return array[size];
}
public int poll(int index) {
swap(index, size - 1);
size--;
down(index);
return array[size];
}
public int peek() {
return array[0];
}
public boolean offer(int offered) {
if (size == array.length) {
return false;
}
up(offered);
size++;
return true;
}
public void replace(int replaced) {
array[0] = replaced;
down(0);
}
private void up(int offered) {
int child = size;
while (child > 0) {
int parent = (child - 1) >> 1;
if (offered < array[parent]) {
array[child] = array[parent];
} else {
break;
}
child = parent;
}
array[child] = offered;
}
private void down(int parent) {
int left = (parent << 1) + 1;
int right = left + 1;
int min = parent;
if (left < size && array[left] < array[min]) {
min = left;
}
if (right < size && array[right] < array[min]) {
min = right;
}
if (min != parent) {
swap(min, parent);
down(min);
}
}
// 交换两个索引处的元素
private void swap(int i, int j) {
int t = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = t;
}
}
题解
public int findKthLargest(int[] numbers, int k) {
MinHeap heap = new MinHeap(k);
for (int i = 0; i < k; i++) {
heap.offer(numbers[i]);
}
for (int i = k; i < numbers.length; i++) {
if(numbers[i] > heap.peek()){
heap.replace(numbers[i]);
}
}
return heap.peek();
}
求数组中的第 K 大元素，使用堆并不是最佳选择，可以采用快速选择算法
E03. 数据流中第K大元素-力扣 703 题
上题的小顶堆加一个方法
class MinHeap {
// ...
public boolean isFull() {
return size == array.length;
}
}
题解
class KthLargest {
private MinHeap heap;
public KthLargest(int k, int[] nums) {
heap = new MinHeap(k);
for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
add(nums[i]);
}
}
public int add(int val) {
if(!heap.isFull()){
heap.offer(val);
} else if(val > heap.peek()){
heap.replace(val);
}
return heap.peek();
}
}
求数据流中的第 K 大元素，使用堆最合适不过
E04. 数据流的中位数-力扣 295 题
可以扩容的 heap, max 用于指定是大顶堆还是小顶堆
public class Heap {
int[] array;
int size;
boolean max;
public int size() {
return size;
}
public Heap(int capacity, boolean max) {
this.array = new int[capacity];
this.max = max;
}
/**
* 获取堆顶元素
*
* @return 堆顶元素
*/
public int peek() {
return array[0];
}
/**
* 删除堆顶元素
*
* @return 堆顶元素
*/
public int poll() {
int top = array[0];
swap(0, size - 1);
size--;
down(0);
return top;
}
/**
* 删除指定索引处元素
*
* @param index 索引
* @return 被删除元素
*/
public int poll(int index) {
int deleted = array[index];
swap(index, size - 1);
size--;
down(index);
return deleted;
}
/**
* 替换堆顶元素
*
* @param replaced 新元素
*/
public void replace(int replaced) {
array[0] = replaced;
down(0);
}
/**
* 堆的尾部添加元素
*
* @param offered 新元素
*/
public void offer(int offered) {
if (size == array.length) {
grow();
}
up(offered);
size++;
}
private void grow() {
int capacity = size + (size >> 1);
int[] newArray = new int[capacity];
System.arraycopy(array, 0,
newArray, 0, size);
array = newArray;
}
// 将 offered 元素上浮: 直至 offered 小于父元素或到堆顶
private void up(int offered) {
int child = size;
while (child > 0) {
int parent = (child - 1) / 2;
boolean cmp = max ? offered > array[parent] : offered < array[parent];
if (cmp) {
array[child] = array[parent];
} else {
break;
}
child = parent;
}
array[child] = offered;
}
public Heap(int[] array, boolean max) {
this.array = array;
this.size = array.length;
this.max = max;
heapify();
}
// 建堆
private void heapify() {
// 如何找到最后这个非叶子节点 size / 2 - 1
for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) {
down(i);
}
}
// 将 parent 索引处的元素下潜: 与两个孩子较大者交换, 直至没孩子或孩子没它大
private void down(int parent) {
int left = parent * 2 + 1;
int right = left + 1;
int min = parent;
if (left < size && (max ? array[left] > array[min] : array[left] < array[min])) {
min = left;
}
if (right < size && (max ? array[right] > array[min] : array[right] < array[min])) {
min = right;
}
if (min != parent) { // 找到了更大的孩子
swap(min, parent);
down(min);
}
}
// 交换两个索引处的元素
private void swap(int i, int j) {
int t = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = t;
}
}
题解
private Heap left = new Heap(10, false);
private Heap right = new Heap(10, true);
/**
为了保证两边数据量的平衡
- 两边数据一样时,加入左边
- 两边数据不一样时,加入右边
但是, 随便一个数能直接加入吗?
- 加入左边前, 应该挑右边最小的加入
- 加入右边前, 应该挑左边最大的加入
*/
public void addNum(int num) {
if (left.size() == right.size()) {
right.offer(num);
left.offer(right.poll());
} else {
left.offer(num);
right.offer(left.poll());
}
}
/**
*
* - 两边数据一致, 左右各取堆顶元素求平均
* - 左边多一个, 取左边元素
*
*/
public double findMedian() {
if (left.size() == right.size()) {
return (left.peek() + right.peek()) / 2.0;
} else {
return left.peek();
}
}
本题还可以使用平衡二叉搜索树求解，不过代码比两个堆复杂