【算法】Greatest Sum Divisible by Three 可被三整除的最大和- 动态规划

Greatest Sum Divisible by Three 可被三整除的最大和-动态规划

问题描述：

给你一个整数数组 nums，请你找出并返回能被三整除的元素最大和。

nums.length 范围[1,40000] ,$nums[i]$ 范围[1,10000]

分析

贪心策略的减法，虽然时间复杂度和操作性简单，但是适用性并不广泛。
以01背包的思路来思考这个问题，对于$a[i]$来说，如果选择,而$a[i]\mathrm{mod}3==k$,即$k=0,1,2$.
如果 k=0,需要找到$0\to i-1$的最大和$s\mathrm{mod}3==0$。
如果 k=1,需要找到$0\to i-1$的最大和$s\mathrm{mod}3==2$。
如果 k=2,需要找到$0\to i-1$的最大和$s\mathrm{mod}3==1$。
如果不选
当前的位置就对应 $a[0]\to a[i-1]$的最大和s。
用$f[i][j] $表示 前$0\to i-1$个元素可以得到的最大和$s$,并且$s\mathrm{mod}3==j$ .
令a[i] = x
不选a[i], $f[i][j]=f[i-1][j]$
选a[i], $f[i][j]=f[i-1][(j-x)\mathrm{mod}3]$

$$\begin{gathered} (s+x)\mathrm{mod}3==j \\ 转换 \\ s\mathrm{mod}3==((j-x)\mathrm{mod}3+3)\mathrm{mod}3 \end{gathered}$$
所以状态转移方程就长这个样子。

$$f[i][j]=\max (f[i-1][j],f[i-1][((j-x)\mathrm{mod}3+3)\mathrm{mod}3]+a[i])$$
如果这个方程看不明白，也可以换个角度。
$f[i][j]$定义不变
$f[i+1][j]=f[i][j]$
$f[i+1][j]=f[i][(j\mathrm{mod}3+x\mathrm{mod}3)\mathrm{mod}3]$
$$f[i+1][j]=\max (f[i][j],f[i][(j+a[i])\mathrm{mod}3]+a[i])$$
为了方便计算，对原始下标做一次偏移，初始化边界$f[0][0]=0,f[0][1]=INTMIN,f[0][2]=INTMIN$。即$f[i]$表示对原数组的$a[i-1]$元素进行处理。

代码

class Solution {
    public int maxSumDivThree(int[] nums) { 
		int n = nums.length;
        int[][] f = new int[n + 1][3];
        f[0][1] = f[0][2] = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 1; i <= n; i++){ 
            for (int j = 0; j < 3; j++){ 
                f[i][j] = f[i-1][j];
                int pre = ((j-nums[i-1])%3+3)%3;
                f[i][j] = Math.max(f[i][j],f[i-1][pre] + nums[i-1]);
            }
        }         
        return f[n][0]; 
    }
}

时间复杂度O(Nk)

空间复杂度O(Nk)

public int maxSumDivThree(int[] nums) { 
		int n = nums.length;
        int[][] f = new int[n + 1][3];
        f[0][1] = f[0][2] = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 0; i < n; i++){ 
            for (int j = 0; j < 3; j++){  
                int pre = (j+nums[i])%3;
                f[i+1][j] = Math.max(f[i][j],f[i][pre] + nums[i]);
            }
        }         
        return f[n][0]; 
    }

时间复杂度O(Nk)

空间复杂度O(Nk)

因为状态转移方程的特点，空间可以进一步压缩，使用滚动数组可以把空间压缩到$O(k)$

Tag

Array Dynamic Programming