15.二分法

一、算法内容

1.简介

二分法是一种基础但非常精妙的算法，经常能为我们打开解题的思路，也常常作为题目的其中一个重要环节出现。二分的基本用法就是在一个单调序列或单调函数中进行参照点（中心点）的移动。通过不断尝试并每次缩小一半的区间或者取值范围，来最终逼近我们的答案。根据参照点（中心点）的意义，我们分为二分查找和二分答案两大内容。二分答案常常与最大值最小，最小值最大有关系。

二分法还可以衍生出三分法，不过其适用范围很小。如果需要求出单峰函数的极值点，通常使用二分法衍生出的三分法求单峰函数的极值点。也可以先对函数求导再进行二分，但是一方面求导需要较强的数学知识，另一方面有很多单峰函数很难进行求导，所以三分法是一个很不错的解决方法。

2.模板

ll l=1,r=n,ans=-1;
while(l<=r)
{
    ll mid=(l+r)>>1;
    if(check(mid))
    {
        ans=mid;
        l=mid+1;
    }
    else
        r=mid-1;
}

模板中l=mid+1和r=mid+1都可能根据答案的实际需要进行修改，它们从属于哪一个if条件判断也需要具体情况具体分析。

二、实例分析

1.二分查找——最简单的例子

（1）背景

假设我们拥有一个长度为$n$的升序排列的数组，现在题目要求我们在数组中查找某一个数，并期望我们能在$O(logn)$的时间内完成查找。下面，我们将结合这个例子具体讲解二分查找的使用方式。

（2）分析

二分查找的具体过程是：它每次将会考察我们选择的参照点（中心点）来进行下一步的判断。而在本题中，参照点就是我们这个升序数组当前部分的中间元素。

• 如果中间元素刚好是要找的，就结束搜索过程
• 如果中间元素小于所查找的值，那么左侧的只会更小，不会有所查找的元素，只需到右侧查找
• 如果中间元素大于所查找的值，那么右侧的指挥更大，不会有所查找的元素，只需到左侧查找

因为在二分搜索过程中，算法每次都把查询的区间减半，所以对于一个长度为$n$的数组，至多会进行$logn$次查找。

ll l=1,r=n,ans=-1;
while(l<r)
{
    ll mid=(l+r)>>1;
    if(a[mid]==aim)
    {
        ans=mid;
        break;
    }
    else if(a[mid]<aim)
        l=mid+1;
    else
        r=mid-1;
}

2.二分答案——P1873

（1）题目大意

给出$N$棵树，以及它们的高度序列$h$。我们获取木材的方式是，选择一个高度$H$，所有$h[i]$高于$H$的部分都将被砍掉并变成木材。题目要求我们能从这$n$棵树中获取至少$M$的木材，并使得$H$尽可能小。

数据范围：$1\le N\le 10^6,1\le M\le 10^9,h[i]<10^9,\sum h[i]>M$

（2）题目分析

• 我们可以直接从小到的枚举$H$，并计算每一个枚举值对应获得的木材数量即可找到答案，$O(n\times max(h[i]))$
• 因为时间复杂度的问题，枚举无法满足我们的需要，而此时我们可以发现一个函数关系，随着我们选取的$H$增大，我们获得的木材总量越小，这显然是一个还有单调关系的函数。
• 所以我们可以考虑使用二分答案的方式去枚举$H$，这样时间复杂度为$O(nlog(max(h[i])))$

（3）核心程序

bool check(ll k)
{
	ll sum=0;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		if(a[i]>k)
			sum+=(a[i]-k);
	return sum>=m;
}
ll find()
{
	ll l=1,r=1e9,ans=-1;
	while(l<=r)
	{
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid))
		{
			l=mid+1;
			ans=mid;
		}
		else
			r=mid-1;
	}
	return ans;
}

3.三分——P3382

（1）题目大意

如题所示

（2）题目分析

• 三分法与二分法的基本思想类似，但每次操作需在当前区间 $[l,r]$内任取两点$lmid,rmid(lmid<rmid)$。

• 如果 $f(lmid)<f(rmid)$，则在$\lfloor rmid,r\rfloor$中函数必然单调递增，最小值所在点必然不在这一区间内，可舍去这一区间。反之亦然。

• 三分法每次操作会舍去两侧区间中的其中一个。为减少三分法的操作次数，应使两侧区间尽可能大。

（3）核心程序

while(fabs(l-r)>=eps)
{
	double mid=(l+r)/2;
	double mmid=(mid+r)/2;
	if(F(mmid)>F(mid))
		l=mid;
	else
		r=mmid;
}

三、作业

1.橙题

P1102 A-B 数对

P2249 【深基13.例1】查找

P1024 [NOIP2001 提高组] 一元三次方程求解

P3382 【模板】三分法

2.黄题

P1873 [COCI 2011/2012 #5] EKO / 砍树

P4058 [Code+#1]木材

P1182 数列分段 Section II

P2678 [NOIP2015 提高组] 跳石头

P2759 奇怪的函数