【c语言】递归习题小结
最近在学习递归，下面是近期遇见的一些习题，都可以使用递归法来解决的，总结如下，希望加深自己对递归的理解。
【题1】 字母全排列，假设给出字符串“abc”，求出它的所有排列，如abc,acb,bac,bca,等等。
扩展要求：不能出现重复的字符串，例如"abb",只能输出abb,bab,bba。（我还没做出来，^_^）
方法一，基于分治的递归法，见代码中arrange_div函数；方法二，基于回溯的递归方法，见代码中arrange_dfs函数。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#if 1 //将 1 改为 0 ，就可以隐藏下述代码
#define N 3
#define NUL '\0'
int num=0;
int locate[N+1]={0};
char charLocate[N+1];
void arrange_dfs(char *str);
int main(){
char a[]="abc";
arrange_dfs(a);
printf("%d\n",num);
return 0;
}
void arrange_dfs(char *str){
int i,j;
if(*str!=NUL){
for(i=1;i<=N;i++){
if(locate[i]!=0 )
continue;
locate[i]=1;
charLocate[i]=*str;
arrange_dfs(str+1);
locate[i]=0;
}
}
else{
num++;
for(j=1;j<=N;j++)
printf("%c",charLocate[j]);
printf("\n");
}
}
#endif
#if 0 //将 0 改为 1 ，就可以运行下列代码
void arrange_div(char *str,int len);
int num=0;
void inv(char *a ,char *b){
char temp;
temp=*a;
*a=*b;
*b=temp;
}
int main(){
char a[]="abc";
arrange_div(a,3);
printf("%d\n",num);
return 0;
}
void arrange_div(char *str,int len){
int i;
if(0==len){
num++;
printf("%s\n",str);
}else
{
for(i=0;i<len;i++)
{
inv(&(*(str+i)),&(str[len-1]));
arrange_div(str,len-1);
inv(&(*(str+i)),&(str[len-1]));
}
}
}
#endif
此外，还想记录在写回溯法的递归函数时出现的一个非常隐蔽的错误。之所以出现这个错误，在于我对递归的理解不够深入，记在此处，时时提醒自己。
#include <stdio.h> #include <string.h> #define N 3 #define NUL '\0' int num=0; int locate[N+1]={0}; char charLocate[N+1]; void arrange_dfs(char *str); int main(){ char a[]="abc"; arrange_dfs(a); printf("%d\n",num); return 0; } void arrange_dfs(char *str){ int i,j; if(*str!=NUL){ for(i=1;i<=N;i++){ if(locate[i]!=0 ) continue; locate[i]=1; charLocate[i]=*str; arrange_dfs(str+1); } locate[i]=0; //错误在这里，没有回溯 } else{ num++; for(j=1;j<=N;j++) printf("%c",charLocate[j]); printf("\n"); } }
这道题目很简单，但又很典型。充分展现了两种截然不同的递归方法——回溯法和分治法。分治法以目标为驱动，在求解著名的斐波那契数列问题时，有一个公式淋漓尽致地诠释了分治法的思路，f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n>2,n为正整数);分治法从最终的问题出发，倒推以前的状态，建立两者之间的关系。与此不同，回溯法从最初的状态，一步步试探，然后得到最终我们想求的结果。或许这又有点玄了。没事，继续来看习题。
【题目2】上\下楼梯问题，假设有h个楼梯，一次只允许走一步，两步，或者三步，求有多少种下楼梯的方法？
扩展要求：将每一种下楼梯的方案打印在屏幕。
方法一，基于分治的递归法，缺点是打印不了每一种下楼梯方案；方法二，基于回溯的递归方法，可以打印每种下楼方法。代码见下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#if 1
#define MAX 100
void trystep_hs(int n,int s);
int pace[MAX]={0};
int num=0;
int main(){
trystep_hs(5,1);
printf("%d\n",num);
return 0;
}
/*回溯法*/
void trystep_hs(int i,int s){
int j,k;
for(j=1;j<=3;j++){
if(i<j) continue;
else{
pace[s]=j; //如果将这一句放在后面的trystep_hs(i-j,s+1)前面，将会出错。
if(i==j){
num++;
for(k=1;k<=s;k++)
printf("%d ",pace[k]);
printf("\n");
}else{
// pace[s]=j; 试一试
trystep_hs(i-j,s+1);
}
}
pace[s]=0;
}
}
#endif
#if 0
int trystep(int n);
int main(){
printf("%d\n",trystep(5));
return 0;
}
/*分治法*/
int trystep(int n){
if(n<=0){
printf("wrong input\n");
exit(1);
}
if(1==n)
return 1;
else if(2==n)
return 2;
else if(3==n)
return 4;
else
return trystep(n-1)+trystep(n-2)+trystep(n-3);
}
#endif
或许，上述内容仍然没有清楚地阐述分治法与回溯法的具体思路。那只好祭出经典习题了，第一个习题是快速排序算法，它是分治法的经典代表；第二个是迷宫问题，它是回溯法的经典代表。看见这两道习题，就会令人自然而然地想起回溯法和分治法。
【2014/4/12补充】
其实无需刻意地写成分治或回溯的形式，使用一般的递归也可以求出此题，而且由此而写出的代码易于理解。
#include <stdio.h>
void walk_floor(int now, int h);
#define MAX 100
void trystep_hs(int n,int s);
int pace[MAX]={0};
int cases_num;
int num;
int main()
{
int h;
while(1){
printf("\n");
scanf("%d", &h);
walk_floor(0, h);
printf("%d\n", cases_num);
trystep_hs(h, 1);
printf("%d\n", num);
}
return 0;
}
void walk_floor(int now, int h)
{
int j;
for( j = 1; j < 4; j++)
{
if( now + j >= h)
{
if( now+j == h)
cases_num++;
}
else
{
walk_floor(now+j, h);
}
}
}
/*回溯法*/
void trystep_hs(int i,int s){
int j,k;
for(j=1;j<=3;j++){
if(i<j) continue;
else{
pace[s]=j; //如果将这一句放在后面的trystep_hs(i-j,s+1)前面，将会出错。
if(i==j){
num++;
/*
for(k=1;k<=s;k++)
printf("%d ",pace[k]);
printf("\n");
*/
}else{
trystep_hs(i-j,s+1);
}
}
pace[s]=0;
}
}
【题目3】假设有一个数组int a[]={1,2,3,4,7,2,3,8,9}，将这个数组，由大到小，进行排序。（分治法）
c代码：
View Code
1 #include <stdio.h> 2 3 4 int part(int a[],int low,int high); 5 6 void quicksort(int a[],int low,int high); 7 8 9 int main(){ 10 int i; 11 int a[]={1,1,1,3,99,23,3,4,7,9,3,2,11,13,22,2,1}; 12 int len=sizeof(a)/sizeof(int); 13 quicksort(a,0,len-1); 14 for(i=0;i<len;i++) 15 printf("%d ",a[i]); 16 printf("\n"); 17 return 0; 18 } 19 20 /*函数part选定一个数X作为基准，对数组进行筛选，比X大的，放在X右边，反之，放在左边*/ 21 22 int part(int a[],int low,int high){ 23 int i,j,flag; 24 25 int partion=a[low]; //选定a[low]作为基准，这样便于处理 26 27 i=low;j=high; 28 /*循环查找比基准大的数和小的数，并移位。*/ 29 while(i<j){ 30 while(i<j&&a[j]>=partion) //此处一定要有等号"=" 31 j--; 32 a[i]=a[j]; 33 while(i<j&&a[i]<=partion) 34 i++; 35 a[j]=a[i]; 36 } 37 38 /*找到基准后，将其在数组上的位置返回，作为下一步递归使用*/ 39 a[i]=partion; 40 flag=i; 41 return flag; 42 43 } 44 45 46 /*进行分治法，递归处理*/ 47 void quicksort(int a[],int low,int high){ 48 49 if(low<high){ 50 int mid=part(a,low,high); //以基准为中心，开始分治处理 51 quicksort(a,low,mid); 52 quicksort(a,mid+1,high); 53 } 54 }
【题4】迷宫问题（回溯法）
扩展要求：除了递归实现以外，还可以用堆栈的形式非递归实现。此处不再赘述，感兴趣的话，可以参考：http://blog.csdn.net/lixiang99410/article/details/6179826
View Code
#include <stdio.h> #define MAX_SIZE 512 int maze[5][5]={ 0,1,0,0,0, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0, 0,1,1,1,0, 0,0,0,1,0, }; struct point{int row,col;} trace[MAX_SIZE]; struct point status[2]={[0].row=1,[0].col=0,[1].row=0,[1].col=1}; void maze_tr(int row,int col,int s); int num=0; int main(){ maze[0][0]=2; maze_tr(0,0,1); } void maze_tr(int row,int col,int s){ int i,k; if(4==row&&4==col){ for(k=0;k<s;k++) printf("(%d,%d) ",trace[k].row,trace[k].col); printf("\n"); }else{ for(i=0;i<2;i++){ if((row+status[i].row)>4||(col+status[i].col)>4||(row+status[i].row)<0 ||(col+status[i].col)<0||2==maze[row+status[i].row][col+status[i].col]|| 1==maze[row+status[i].row][col+status[i].col]) continue; maze[row+status[i].row][col+status[i].col]=2; trace[s].row=row+status[i].row; trace[s].col=col+status[i].col; maze_tr(row+status[i].row,col+status[i].col,s+1); maze[row+status[i].row][col+status[i].col]=0; } } }
暂时告一段落，递归的方法千变万化，上面几种形式只是其中一小部分，而且递归算法效率未必高，存在优化问题，有空再来补充一些内容。递归还有许多应用，比如八皇后问题，归并排序算法，古老的打子弹计环数问题(见http://blog.csdn.net/hehe9737/article/details/7008552)，每一种应用都灵活使用了递归思想，也都值得去做一做。
附件：清华大学湛卫军老师的c语言递归课件，非常不错。http://wenku.baidu.com/view/c744dd4333687e21af45a90a.html