数学建模常用模型（八） ：主成分分析法
数学建模常用模型（八） ：主成分分析法
主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的降维技术和数据分析方法。它通过线性变换将原始数据映射到一个新的坐标系中，新的坐标系由一组称为主成分的正交向量组成。主成分按照其对原始数据方差的贡献程度排序，可以选择保留最重要的主成分，从而实现数据降维和特征提取的目的。
这是我自己总结的一些代码和资料（本文中的代码以及参考书籍等），放在github上供大家参考：https://github.com/HuaandQi/Mathematical-modeling.git
1.主成分分析的要求
**要求：**指标之间相关性比较高，一般需要对数据的相关性或者主成分分析的结果进行分析后，如果效果比较好，再使用主成分分析，如果效果不好，那就不要使用主成分分析：切记。
主成分说白了就是在评价的时候有很多指标，因为指标太多了，并且各个指标之间相互有影响，为了消除指标之间的影响，单纯从数据的角度寻找各个指标具有公共特征，这些公共的特征就是主成分，也就是常说的第一主成分，
第二主成分，第N主成分。具体的第一主成分第二主成分以及累计贡献率（要保证所有主成分累计对原始数据的贡献达到80%）是如何计算出的，可以不用掌握，且在比赛的时候也没必要写在论文上，只需要给出主要的结果即可。
2.程序实例
下面是使用Python中的sklearn库进行主成分分析的示例代码：
import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
# 原始数据
X = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12]])
# 创建PCA对象
pca = PCA(n_components=2) # 指定保留的主成分个数为2
# 进行主成分分析
pca.fit(X)
# 获得主成分
components = pca.components_
# 获得降维后的数据
transformed_data = pca.transform(X)
# 打印结果
print("原始数据：")
print(X)
print("主成分：")
print(components)
print("降维后的数据：")
print(transformed_data)
在上述代码中，我们首先定义了原始数据矩阵X，然后创建了一个PCA对象并指定保留的主成分个数为2。接下来，我们使用fit()方法进行主成分分析，并使用components_属性获取主成分。最后，使用transform()方法将原始数据映射到主成分空间，得到降维后的数据。
请根据实际情况调整原始数据和保留的主成分个数，并根据需要对结果进行解释和分析。
3.运行结果
原始数据：
[[ 1 2 3]
[ 4 5 6]
[ 7 8 9]
[10 11 12]]
主成分：
[[ 0.57735027 0.57735027 0.57735027]
[ 0. -0.70710678 0.70710678]]
降维后的数据：
[[-7.79422863e+00 -1.66533454e-15]
[-2.59807621e+00 -5.55111512e-16]
[ 2.59807621e+00 5.55111512e-16]
[ 7.79422863e+00 1.66533454e-15]]