【算法】Minimum Falling Path Sum 下降路径最小和

Minimum Falling Path Sum 下降路径最小和

问题描述：

给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

$$\begin{gathered} n==matrix.length==matrix[i].length \\ 1<=n<=100 \\ -100<=matrix[i][j]<=100 \end{gathered}$$

分析

其实就是从众多可能的路径中，选择出路径和最小的。
而且这个路径是有限制的。

如果当前坐标是$[x,y]$,那么它之前的路径的坐标，就只能是$[x-1,y],[x-1,y-1],[x-1,y+1]$.所以很明显要求xy的路径和最小问题，就必须先知道它之前的3个坐标的路径和最小值。
$$f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i-1][j-1],f[i-1][j+1])+a[i][j]$$需要注意边界,不能越界。
可以选择在DP之前做一次初始化，也可以在DP的过程中初始化。

代码

public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        int row = matrix.length, col = matrix[0].length;
        int[][] f = new int[row][col];
        int ans = 1<<30 ;
        for(int i = 0;i<row;i++){
            for(int j = 0;j<col;j++){                
                if(i==0){
                    f[i][j] = matrix[i][j];
                }
                else{
                    int tmp = f[i-1][j];          
                    if(j>0) tmp = Math.min(tmp,f[i-1][j-1]);            
                    if(j<col-1) tmp = Math.min(tmp,f[i-1][j+1]);              
                    f[i][j] = tmp +matrix[i][j];
                }
                if(i==row-1){
                    ans = Math.min(ans,f[i][j]);
                }
            }       
        }
        return ans;
    }

时间复杂度$O(N^2)$

空间复杂度$O(N^2)$

如果使用滚动数组，理论上空间可以压缩到$O(N)$

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Matrix

Dynamic Programming