高中奥数 2021-09-22

2021-09-22-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P048 例1）

如图,中,,外接圆上点处的切线交直线于点,是点关于点的对称点,是点关于直线的对称点.求证:四边形是圆内接四边形.

图1

证明

由于是切线,由切割线定理

.

又,所以.

再由是切线知.

故.

再根据、的对称性知.

于是,.

从而,四边形是圆内接四边形.

2021-09-21-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P048 例2）

如图,圆与的外接圆相切于点,与边交于点,且和边相交.过点作圆的切线,切点为,连结,交边于点.求证:线段的长等于点到圆的切线长.

图2

证明

过作两圆的公切线,连结交圆于.

则.

注意到、、、四点共圆,所以、、、四点共圆,所以.

又因是圆的切线,.

所以,从而它们的补角也相等,即.

又,故.

由圆幂定理知,的长等于到圆的切线长.