最小生成树（prim & kruskal）

prim算法 O(n²)

普利姆算法适用于稠密图，思路与朴素版本的dijkstra很像，都是找到距离最近的点，然后用该点去更新邻边。

不同的是：

1. dij找的是该点到源点的距离；而prim找的是该点到集合的最短距离，这里的集合指的是某些点所连成的连通块， 我们要找的最小生成树就是把这些所有的点都连接在一起，使得这些边的权值之和最小。
2. 更新方式不同，由于更新方式的不同使得寻找最优解的方式也不同，在prim算法中就是一层一层的拓展更新，可能之前所连点的距离被后面的更新所取代，但dij就不一样了，dij每次确定一个点后就一直往前走，找到最小的边，每次用到源点距离最短的点更新邻边， dij更新的是 某点到源点的最短， prim更新的是某点到集合的最短距离，在确定某个点到源点 / 集合的最短距离后，要用该点去更新其邻边，dij这样更新d[j] = min(d[j], d[t] + g[t][j]); prim这样更新：d[j] = min(d[j], g[t][j]); 两者的g[t][j]都表示的是该点与邻点边权的大小.
3. 求最小生成树要用一个变量加权统计，那么什么时候加？
   在确定某个点到集合最短距离之前，如果该确定点到集合的距离不是INF, 就加上，如果是INF说明所找到的与集合距离最近的点距离为INF,该点不连通，最小生成树肯定就不存在

代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 510;
int g[N][N], d[N];
bool st[N];
int n, m;
int res;

bool prim()
{
    memset(d, 0x3f, sizeof d);
    d[1] = 0;
        
    for(int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int t = -1;
        for(int j = 1; j <= n; j ++ )
            if(!st[j] && (t == -1 || d[t] > d[j]))
                t = j;
            
        if(d[t] == 0x3f3f3f3f)  return false;
        res += d[t];
        st[t] = true;
        
        for(int j = 1; j <= n; j ++ )
            d[j] = min(d[j], g[t][j]);
    }
    return true;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }
    
    if(prim())  cout << res << endl;
    else puts("impossible");
    return 0;
}

kruskal算法O(m)

kruskal算法用于求解稀疏图的最小生成树

思路：

1. 将所有的边读入结构体中，按边权排序
2. 初始化并查集数组p[],用于查看两个点是否在一个集合中
3. 枚举所有的边，每次拿出最小的边，查询两个边的两个端点是否在一个集合中，如果不在一个集合中就加入到一个集合中（加边）同时记录res加边权，也要记录一下枚举完所有的边一共加了多少边。如果加边数小于n-1，说明可能存在自环或不连通，最小生成树不存在

代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = N * 2;
int n, m;
int res, cnt;   //cnt为边数
int p[N];

struct Edge{
    int a, b, w;
    bool operator < (const Edge &W)const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x)
{
    if(x != p[x])   p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

bool kruskal()
{
    for(int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
        a = find(a), b = find(b);
        if(a != b)
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++;
        }
    }
    if(cnt < n - 1) return false;
    return true;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   p[i] = i;
    
    
    for(int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        edges[i] = {a, b ,c};
    }
    
    sort(edges, edges + m);
    
    if(kruskal())   cout << res << endl;
    else    puts("impossible");
    return 0;
}