Lessons from the information paradox

Raju的这篇2020年末的综述有点振聋发聩的意味，让被island，replica wormhole“洗脑”的我清醒了一些。我们真的解决了information paradox 了吗？或者说我们真的找到Hawking 的错误了吗？主流的想法是至少在计算Page curve这方面，我们是取得了胜利，很大概率“island，replica wormhole”等这些新的概念将被写入教科书，我们也将沿着这条路继续向前。但是就像量子力学还有广义相对论即使在今天也有人对之抱有怀疑一样，这些新的进展必定也有来自“少数派”的质疑。这些质疑不都是逆流，也有一些独立的理性思考。对于处在这个领域的我们来说，不管我们对于island 还有replica wormhole，baby universy, ensemble average这些概念持怎样的态度，更值得关心的问题是我们能从中得到什么？这也是就是篇综述的题目：lessons from the information paradox. 就像Henry Maxfield说的，如果我们从中什么也学不到的话，那真是很shameful and disappointing。
可能这篇日志是lessons from the "lessons from the information paradox"，还是很主观的，所以很推荐看原文。

The Page curve and islands

Raju没有提任何关于replica wormhole的东西，不过他在这节更清醒地审视了Page curve的计算。在各种各样的school，很多专家都仔细讲了那些计算。但是我们自己看的时候，还是可能会产生一些疑问，但是可能没有把那些疑问提炼出来。我现在看完Raju的文章已经被剧透了，或许大家可以先自己提炼一下自己的疑问，应该会很有意思。

这个toy model 可以由下面这个图概括：

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这里我们的系统是这样的：考虑一个渐进的引力时空，里面couple一个维的CFT。这个CFT也是holographic的。所以这个系统通过等价于一个. 然后我们再把这个couple一个处在固定平直时空的。左侧的图是含有引力的描述，但是dynamical的引力只存在在红色区域。右侧是一个完全不包含引力的描述。紫色区域的CFT也称为 bath。
在这个系统里What has been computed?
让我们关注右边的没有引力的图，然后我们加入一个虚拟的分割线I把系统分成左右两部分，左侧是defect()还有一小部分的bath右侧是剩余的bath部分，因为系统整个系统没有引力，我们可以安全地也罢Hilber space分成相应的两部分的直积。假设开始的时候，处在一个高能量的激发态上而处在基态，那么随着时间的推移就会有能量流过分割线一直到达bath空间的无穷成，我们可以计算defect与bath的纠缠熵随时间的变换，更具Page一般的argument，当然符合Page curve。

这个计算模糊的地方是怎样区分黑洞和辐射？
处在高能量激发态的对偶一个黑洞，但是在文献里一般把整个分割线的左侧称为黑洞部分，右侧称为辐射部分。不管我们把分割线选在哪，他总是在紫色区域，也就是非引力区域里。这就造成一个歧义：这里的“黑洞”不但包括我们通常意义上的黑洞，还包括所从黑洞到边界的辐射，还包括一部分bath里面的辐射。

这个仅仅是个无关紧要的技术上的问题吗？
似乎不是。如果从bulk reconstruction的角度或者holographic information的角度来说，关于黑洞的信息其实已经encoded在AdS的边界上了。当我们再couple上bath的时候，AdS边界处的信息才会进到bath里面，所以我们刚才计算的Page curve记录的信息并不是从黑洞视界附近出来的，而仅仅是关于信息在非引力区域的传递。

这里的一个关键是Raju的Conclusion 2: 在一个量子引力系统里，在整个Cauchy面上的信息，其实在Cauchy面的边界处有一份拷贝(a copy of all the information available on a Cauchy slice is also available near the boundary of the Cauchy slice.)；还有Conclusion 3: 黑洞内部的信息也在其外部有一份拷贝（the exterior of a black hole always contains a complete copy of the information in the interior.）
然后Raju对于Hawking的错误的解释是Conclusion 4：霍金犯的的一个错误是假设量子引力和一般的local的QFT一样localizes information。这个conclusion 4也可以理解为在量子引力里是没有local QFT的factorization的。

另外一个问题是关于fine-entropy 公式的

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这个公式可以用replica trick来得到。但是把这个公式用到之前的toy model就会有点奇怪。因为在那个model 里，R区域是没有引力的，但是我们在计算这个部分的纠缠熵的时候，还要考虑与R区域disconnected 的具有引力的区域的贡献。可能一个比较直观的理解island 公式的图像是之前Takanayaki 课上讲的boudnary CFT或者brane world的图像。

还有一些工作把这个公式推广到aymptotic flat 的黑洞的情况。这可能也是问题的。一般的图像是这样的

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比如是我们计算E区域里面的entropy。这个计算和在toy model里的计算本质的不同是现在E区域也是一个具有dynamical 引力的区域。所以根据conclusion2，E的边界应该具有黑洞内部的信息，所以E区域的entropy应该是0而不是由island formula 给出。所以naively 把island fomular 推广到平直时空有问题的。

Information paradox

Raju 的conclusion 1 也很有意思：霍金的计算并不导致一个paradox。(Hawking's original argument is not precise enough to lead to a paradox.)

霍金的计算的一个结论是黑洞的辐射在不考虑grey factor的时候是thermal的，是处在一个mixed state上的。为什么说霍金的计算不够sharp得到一个paradox 呢？是因为一个可能比较反直觉的量子力学的结论：当系统的自由度很大的时候，thermal state与pure state的区别是被 压低的， 是系统的热力学熵。对于黑洞这个熵是巨大的，他正比于。所以霍金计算得到的thermal state与pure state的区别很小，我们只需要的修正就能resolve 霍金的paradox而不是我们通常认为的order 1的修正。 这就有一个让人震惊的结论：fine grained entropy is sensitivie to correction. 黑洞的量子熵是很敏感的，而这个数量级的贡献正好是一些非微扰贡献的量级，这也是为什么半经典的路径积分的计算可能resolve 这个paradox的一个可能的原因。
在强调一下这个量子力学的结论：对于一个具有很多自由度的量子系统，几乎所有的pure state都exponentially close to maximally mixed state。

从这个角度来看，entropy并不是一个好用的量，需要一些精细的计算才行。更好用的量是entanglement 本身：即一些关联函数的不等式，比如Bell 不等式。我们可以直接定义entanglement为两个系统直接的关联超过了classical correlation的极限。注意classical correlation还有这些不等式都是在量子信息理论里面都是有严格定义的。利用 entanglement monogamy我们可以得到的一个真正sharp的paradox：monogamy paradox。Monogamy是说，如果一个系统已经和另外一个系统最大entangle 了那么他就不可能再和其他系统最大entangle。

这也导致了AMPS 的firewall如下图：

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假设A B C三个部分的Hilbert space是factorized的。首先加入视界附近是smooth的那么可以计算发现A和B是entangle的。然后在C是包含了late time radiation，所以在Page time之后，C也应该是与B entangle的，这就违反了monogamy。所以AMPS propose，视界附近不是smooth的。

通过我之前的解释，似乎更合理的propasl是说ABC的Hilbert space不是factorized，也就是 Conclusion 3: 黑洞内部的信息也在其外部有一份拷贝（the exterior of a black hole always contains a complete copy of the information in the interior.）

这里我只提到了4 out of 8 conclusions。其他的4个可能更加“少数派”或者说难以理解一些，这与Raju有自己独到的对holography的一些见解有关，特别是对于asymptotic flat情况的一些讨论。对于黑洞蒸发，还是有很多问题有待解决，希望可以在不远的将来，可以有一个普遍接受的描述，即使是在AdS/CFT的框架下。