CF1061C Multiplicity

觉得平时写博客的速度太慢了，今晚尝试一下 20 mins 完成一篇有质量的博客qwq

实际上用了 50 分钟qaq

CF1061C Multiplicity

洛谷入口 codeforces 入口

最近做的练习题中最简单的一道了。

结论：元素整除 $->$ 分解质因数

题目大意

从序列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 中选出非空子序列 $b_1,b_2,\dots ,b_n$，一个子序列合法需要满足 $\forall i\in [1,k],i|b_i$。求有多少互不相等的合法子序列，答案对 $10^9+7$ 取模。

序列 $1,1$ 有 $2$ 种选法得到子序列 $1$ ，但 $1$ 的来源不同，认为这两个子序列不相等。

分析

首先，根据题意不难想到暴力做法：

$$f_{i,j}=f_{i-1,j}+[a_i\%j==0]f_{i-1,j-1}$$

其中 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数中选出 $j$ 个组成合法子序列的方案数。

时间复杂度是 $O(n^2)$，肯定过不了。

分析上述方程，可以将其通过滚动数组将为一维↓↓

$$f_j=f_j+[a_i\%j==0]f_{j-1}$$

注意为了不破坏答案正确性，应当将 $j$ 从大到小更新。我起初 WA 原因

这时我们发现，当 $a_i\%j!=0$ 时，$f_j$ 保持不变。换句话说，只有当 $a_i\%j==0$ 时，$f_i$ 才会更新。

所以对于每个 $a_i$，我们可以先处理出 $a_i$ 的质因子，并将其质因子排序，再进行状态转移，本题就可以过了。 实际上 20 mins 就写了以上这么点（（

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时间复杂度分析：

设 $a_i$ 的因子数位 $fa{c}_i$，那么时间复杂度为 $O(n\cdot \underset{i\in [1,n]}{\max }fa{c}_i\log fa{c}_i)$，注意 $\log$ 的存在在于需要将质因子排序。
实际上，当 $a_i\le 10^6$ 时，$fa{c}_i$ 的最大值为 240，最大时间复杂度为 $O(10^5\cdot 240\cdot 8)=O(1.92\times 10^8)$，3 s 时限可以过。

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注意因为 $a_i$ 质因子的最大值接近 $10^6$，$f$ 数组要开 $10^6$ 。我后来 RE 的原因

当然，将 $a_i$ 质因子筛选，保证全部小于 $n$ 再转移 $f$ 也行。

$Code$

#include
using namespace std;
const int N=1e5+5,M=1e9+7;
int n,ans,b[N],f[N*10];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int a,c=0;
		scanf("%d",&a);
		for(int j=1;j*j<=a;j++){
			if(a%j==0){
				b[++c]=j;
				if(j*j!=a) b[++c]=a/j;
			}
		}
		sort(b+1,b+c+1);
		for(int j=c;j>=1;j--) (f[b[j]]+=f[b[j]-1])%=M;
		/*for(int j=c;j>=1;j--){  //Method 2 : ensure that all are less than N.
			if(b[j]>n) continue; 
			(f[b[j]]+=f[b[j]-1])%=M;
		}*/
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) (ans+=f[i])%=M;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

$$Thanksforreading.$$

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