【笔记】概统论与数理统计第二章知识点总结

2.1 随机变量及其分布函数

1. 随机变量

• 在随机试验的可能结果和数之间建立对应关系

• 随机变量：设 Ω 为一个试验的样本空间，如果对每一个样本点 ω ∈ Ω，规定一个实数 X(ω)，这样就定义了一个定义域为 Ω 的实值函数 X = X(ω)，称 X 为随机变量
  • 随机变量是确定的函数
  • 其定义域是样本空间
  • 随机变量取值具有随机性，取值具有一定的概率
• 注意：X 取值的统计规律性在其取值范围无限的情形下，并不能用单点集上的可能性刻画。比如, X 表示 (0,1) 上随机取点的坐标，那么，P(X = a) = 0。

2. 分布函数

• 分布函数：设X是以随机变量，对任意实数x，定义F(x) = P(X≤x) 称F(x)为随机变量X的分布函数。
  • P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) = F(b) − F(a)
• 定理：F(x) 为随机变量 X 的分布函数，则
  • 当 x1 < x2 时, F(x1) ≤ F(x2), 即 F(x) 单调不减
  • 
  • F(x) 右连续, 即 F(x) = F(x + 0)
  • 对任意的 x0, P(X = x0) = F(x0) − F(x0 − 0)
  • 满足前三条定理的函数一定是某个随机变量的分布函数

2.2 常见离散型分布

1. 离散型随机变量的概率分布

• 离散型随机变量：随机变量的所有可能取值为有限个或者可数无穷多个值

• 定义：设离散型随机变量的取值为, 且X取各值的概率为

                                                

        称上式为离散型随机变量 X 的概率分布, 或概率函数（分布律）

• 表示方式：表格、矩阵 

• 性质
  • 
  • 

2.常见离散型分布

• 可列重伯努利试验：在 n 重伯努利试验中, 试验可以一直重复下去
• 几何分布 X ∼ G(p)：在成功概率为p的可列重伯努利试验中，事件A首次出现在第k次试验的概率，其中0 < p < 1

• 超几何分布 X ∼ H(n, m, N)：设 M, N, n 为正整数, 并且 M ≤ N, n ≤ N, 若随机变量X有分布律

• 二项分布 X ∼ B(n, p)：考虑成功概率为p的n重伯努利试验，事件A成功发生次数为X

  

  • 0 < p < 1

  • 

  • 0-1分布：n = 1 时，X ~ B(1, p)

    

  • 二项分布和超几何分布：当N都很大时, 二项概率和超几何概率有如下近似（当N很大时，不放回抽取可以视为有放回抽取）

    

    • 
• 泊松分布 X ∼ P(λ)：设随机变量，且满足=，则

  

  • 适用于p较小（通常≤0.1），且n较大（n≥50），二项分布的概率函数近似于泊松分布
  • 近似服从泊松分布的场合：近乎独立的小概率事件的累计发生次数
    • 显微镜下落在某区域中微生物数, 一年内某地区的地震次数

2.3 连续型随机变量及其分布

1. 连续型随机变量及其概率密度函数

• 定义：设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，若存在一个非负函数f(x)，使得对于任意实数 x, 有

  

  • X：连续型随机变量
  • f(x)：X 的概率密度函数
  • 反应随机变量在某一点附近取值可能性的大小
• 密度函数的两个性质：若任何一个函数具有以下两个性质，则为随机变量的密度函数
  • f(x)≥0,  x(−∞, +∞)
  • 
• 定理：若X为连续型随机变量，F(x)和f(x)分别为X的分布函数与密度函数，则
  • 对任意常数a
  • 对任意常数C， 有P(X=C)=0
  • F(X)是连续函数且在f(x)的连续点，有

  

2. 几种常见连续型分布

• 均匀分布X ∼ U(a, b)：设随机变量 X 的密度函数为

  

  称 X 在区间 [a, b] 上服从均匀分布

            分布函数

• 指数分布 X ∼ e(λ)：随机变量 X 的密度函数为

  

  • 其中 λ > 0 为常数，则称 X 服从参数为 λ 的指数分布
  • 常用于描述各种“寿命”：放射性粒子的衰变时间, 随机服务系统的服务时间，癌症病人术后存活期（要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间）。

  • 记忆的持续期等, 电子元件的寿命等

  • 分布函数

    

    • 
    • 
  • 指数分布的无记忆性：对于任意的 s, t > 0, 当 X ∼ e(λ) 时, 有

    

    • 无记忆性表明当该元件或系统已工作了时间 s 的前提下, 还能至少正常工作时间 t 的概率和全新的元件和系统能够至少正常工作时间 t 的概率相同，通常用于表示某元件或系统的寿命，“永葆青春”

                                         

• 函数与分布：解决的问题为要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间
  • 函数：设 α > 0, 关于 α 的含参积分

  • 

  • 函数的性质

    • 

    • 

    • 

    • 

  • 分布：设随机变量X有密度函数

    

    • α, β > 0 为常数
    • X ∼ Γ(α, β)
    • 当 α = 1 时, Γ 分布 Γ(1, β) 为指数分布 e(β)

        

2.4 随机变量及其分布

1. 离散型随机变量函数的分布：若X与Y存在映射关系，可以可以建立 X 和 Y 的分布列之间的关系

2. 连续型随机变量函数的分布：求Y分布函数以及密度函数的方法

        设 X 有密度函数

• 由 X 的取值区间，求出 Y 的值域 R(Y)
• 求出 Y 的分布函数, 对于 y ∈ R(Y)