【笔记】概统论与数理统计第四章知识点总结

4.1 数学期望

1. 离散型随机变量的数学期望

• E(X)：随机变量X取值的加权平均值，权重为概率，级数=1∞收敛，则
• 0-1分布X~B(1, p)：E(x) = p
• 二项分布X~(n, p)：E(X) =np
• 指数分布X~e()：E(X) = 
• 0-1分布X~B(1, p)：E(x) = p
• 几何分布X ∼ G(p)：E(X) = 
• 超几何分布：E(X) = 

2. 连续型随机变量的数学期望：

• 均匀分布X ∼ U(a, b)：
• Gamma 分布~(, )：

3. 随机变量函数的数学期望

• 一维随机变量：
  • 离散型：X 为离散型随机变量，其分布律为 ，k = 1, 2, ..., y = g(x) 是 x 的 (分段) 连续函数或单调函数，且级数绝对收敛，则对Y = g(X），我们有

    

    • 公式的意义：求E(Y)时，不必算出的分布律或概率密度，而只要利用X的分布律或概率密度就可以了

  • 连续型：若X为连续型的，其密度函数为f(x)，且反常积分绝对收敛，则有

    

• 二维随机变量：设 (X, Y) 是二维随机变量

  • 离散型：若 (X, Y) 是离散型，二维概率分布律为。g(x, y) 是分片连续函数，且级数绝对收敛，则有

    

  • 连续型：若(X, Y)为连续型，其二维密度函数为f(x, y)，且反常积分绝对收敛，则有

    

  

4. 数学期望的性质

• E(C) = C
• E(CX) = CE(X)
• E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
• 
• 若 X 和 Y 独立，E(XY) = E(X) E(Y)
  • g(X) 和 h(Y) 也是独立的随机变量，E(g(X)h(Y)) = E(g(X))E(h(Y))

 

4.2 方差和矩

1. 方差的定义及计算

• 方差：随机变量 X 取值在期望 E(X) 周围的集中程度

• 定义：

  • 公式反映
    • D(X) ≥ 0
    • D(X) ≤ E()常用于估计方差上界

  • X为离散型：

  • X为连续型：
  • 均方差标准差：反映了随机变量和均值的典型距离
• 0-1分布X~B(1, p)：D(x) = p(1-p)
• 二项分布X~(n, p)：D(X) =np(1-p)
• 泊松分布~()：D(X) =
• • 几何分布X ∼ G(p)：D(X) =
• 均匀分布X ∼ U(a, b)：D(X) =
• Gamma 分布~(, )：D(X) =
• 指数分布~()：D(X) =

2. 方差的性质

• D(C) = 0
• D(aX+b) = 
• 若X与Y独立，则

  

  • 随机变量相互独立，是n个常数，则

    

  • D(X) = 0 等价于 P(X = E(X)) = 1
    •  此时X 服从退化分布

3. 变异系数、原点矩及中心距

• 变异系数：在比较两个随机变量的取值集中程度时消除方差和标准差的量纲，衡量了 X 取值在 E(X) 周围的相对集中程度（越小越集中）
• 定义：若随机变量 X 的期望、方差均存在, 且 E(X) ≠ 0, 则

  

• 随机变量的原点矩和中心距： 是非负整数

  • X 的 k 阶原点矩：

  • X 的 k 阶中心矩：

  • 

  • 中心距可以用原点矩表示：

4.3 协方差和相关系数

1. 协方差

• 定义：Cov(X, Y) = E(X − E(X))(Y − E(Y)) = E(XY) − E(X)E(Y)
• 特别情况：Cov(X, X) = D(X)
• 计算
  • ​​​​​​​离散型

    

  • 连续型

    

• 协方差的性质

  • ​​​​​​​Cov(X, Y) = Cov(Y, X)

  • Cov(aX, Y) = a Cov(X, Y)
  • Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)
  • Cov(X, a) = 0
  • Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y)
  • 若 X, Y 独立, 那么, Cov(X, Y) = 0
  • D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2 Cov(X, Y)
  • 
• 均值向量：

• 协方差阵：

  

  

• 多项分布的协方差

  

• 超几何分布的协方差

  

• 超几何分布的方差

  

2. 相关系数

• 协方差反映随机变量 X 与 Y 的线性相关关系, 但它受量纲的影响：Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y)。我们将根据协方差定义出一个不受量纲影响的相关系数
• 定义：

  

  • R(X, Y) = 0 时， X 和 Y不相关
  • R(X, Y) > 0 时，X 和 Y正相关
  • R(X, Y) < 0 时，X 和 Y负相关
  • R(X, Y) = ±1 时, X 和 Y 为完全的线性关系
    • R(X, Y) = 1 时，X 和 Y 完全正相关
    • R(X, Y) = −1 时，X 和 Y 完全负相关

  • 注意：独立性蕴含不相关性, 反之未必

• 性质​​​​​​​

  • R(X,Y)=R(Y,X)
  • |R(X,Y)|≤1
  • |R(X, Y)| = 1 的充要条件为：存在常数 a, b, 且 a = 0，使得 P(Y = aX + b) = 1
    • (X与Y线性相关)