拓扑学笔记：拓扑学介绍，闭形式与恰当形式与“定义域”的关系
恰当形式与闭形式的关系与定义域是否为单联通有关
闭形式Closed form
Ω ∈ R 2 , w 为 上 的 1 − 形 式 w = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y （ P 与 Q 为 Ω 上 的 光 滑 函 数 ） 微 分 形 式 ： d w = d P ∧ d x + d Q ∧ d y = ( ∂ P ∂ x d x + ∂ P ∂ y d y ) ∧ d x + ( ∂ Q ∂ x d x + ∂ Q ∂ y d y ) ∧ d y = ∂ P ∂ y d y ∧ d x + ∂ Q ∂ x d x ∧ d y ( 外 微 分 中 d x ∧ d x = 0 , d x ∧ d y = − d y ∧ d x 类 向 量 叉 乘 性 质 ) = ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x ∧ d y 若 ∂ Q ∂ x = ∂ P ∂ y , d w = 0 , 则 称 w 为 闭 的 1 − 形 式 Ω\in R^2, w为\ 上的\ 1-形式\\ w=P(x,y)dx+Q(x,y)dy（P与Q为Ω上的光滑函数）\\ 微分形式：\\ dw=dP \wedge dx+dQ\wedge dy\\ =(\frac{\partial P}{\partial x}dx+\frac{\partial P}{\partial y}dy)\wedge dx+(\frac{\partial Q}{\partial x}dx+\frac{\partial Q}{\partial y}dy)\wedge dy\\ =\frac{\partial P}{\partial y}dy\wedge dx+\frac{\partial Q}{\partial x}dx\wedge dy\\ (\color{red}外微分中dx\wedge dx=0,dx\wedge dy=-dy\wedge dx类向量叉乘性质\color{black})\\ =(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dx\wedge dy\\ \color{red}若\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y},dw=0,则称w为闭的\ 1-形式\color{black} Ω∈R2,w为 上的 1−形式w=P(x,y)dx+Q(x,y)dy（P与Q为Ω上的光滑函数）微分形式：dw=dP∧dx+dQ∧dy=(∂x∂Pdx+∂y∂Pdy)∧dx+(∂x∂Qdx+∂y∂Qdy)∧dy=∂y∂Pdy∧dx+∂x∂Qdx∧dy(外微分中dx∧dx=0,dx∧dy=−dy∧dx类向量叉乘性质)=(∂x∂Q−∂y∂P)dx∧dy若∂x∂Q=∂y∂P,dw=0,则称w为闭的 1−形式
恰当形式 Exact from
常微分方程中的恰当方程
设 函 数 f : Ω → R , 光 滑 ， d f = ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y 恰 当 形 式 ： 设 w 为 Ω 上 的 1 − 形 式 ， s . t . w = d f , ∃ f ∈ C ∞ ( Ω ) 设函数f:Ω \rightarrow R,光滑，df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\\ \color{red}恰当形式：\color{black}设w为Ω上的 1-形式，s.t.w=df,\exists f\in C^{\infty}(Ω)\\ 设函数f:Ω→R,光滑，df=∂x∂fdx+∂y∂fdy恰当形式：设w为Ω上的1−形式，s.t.w=df,∃f∈C∞(Ω)
结 论 ： 恰 当 形 式 必 为 闭 形 式 : 证 明 ： i f w = d f , d w = d ( ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y ) = ( ∂ 2 f ∂ x ∂ y − ∂ 2 f ∂ y ∂ x ) d x ∧ d y （ 光 滑 函 数 混 合 偏 导 相 等 ） = 0 反 之 不 成 立 ： 比 形 式 不 一 定 是 恰 当 形 式 ： 如 果 Ω 是 单 联 通 的 ( 可 以 连 续 的 缩 为 一 个 点 ) 则 闭 形 式 为 恰 当 形 似 d w = 0 , 积 分 与 路 径 无 关 , 可 令 f ( x , y ) = ∫ ( x 0 , y 0 ) x , y w ， 并 且 有 d f = w 但 是 如 果 Ω 不 是 是 单 联 通 的 ， Ω = R 2 − { 0 , 0 } , w = x d y − y d x x 2 + y 2 （ 其 d w = 0 , 但 不 是 恰 当 形 式 绕 原 点 的 环 路 x 2 + y 2 = 1 积 分 不 为 零 ） 结论：恰当形式必为闭形式:\\ 证明：if w=df,dw=d(\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy)\\=(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}-\frac{\partial ^2f}{\partial y\partial x})dx\wedge dy（光滑函数混合偏导相等）=0\\ 反之不成立：比形式不一定是恰当形式：\\ 如果Ω是单联通的(可以连续的缩为一个点)则闭形式为恰当形似\\ dw=0,积分与路径无关,可令f(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{x,y}w，并且有df=w \\ 但是如果Ω不是是单联通的，Ω=R^2-\{0,0\},w=\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}\\ （其dw=0,但不是恰当形式绕原点的环路x^2+y^2=1积分不为零） 结论：恰当形式必为闭形式:证明：ifw=df,dw=d(∂x∂fdx+∂y∂fdy)=(∂x∂y∂2f−∂y∂x∂2f)dx∧dy（光滑函数混合偏导相等）=0反之不成立：比形式不一定是恰当形式：如果Ω是单联通的(可以连续的缩为一个点)则闭形式为恰当形似dw=0,积分与路径无关,可令f(x,y)=∫(x0,y0)x,yw，并且有df=w但是如果Ω不是是单联通的，Ω=R2−{0,0},w=x2+y2xdy−ydx（其dw=0,但不是恰当形式绕原点的环路x2+y2=1积分不为零）
∮ w = ∮ x d y − y d x x 2 + y 2 参 数 化 ( x = c o s t , y = s i n t ) = 2 π \oint w=\oint \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}参数化(x=cost,y=sint)=2\pi ∮w=∮x2+y2xdy−ydx参数化(x=cost,y=sint)=2π
∮ d f = 参 数 化 （ x = x ( t ) , y = y ( t ) ） ∮ 0 2 π ( ∂ f ∂ x ( x ( t ) , y ( t ) ) x ′ t + ∂ f ∂ y ( x ( t ) , y ( t ) ) y ′ t ) d t = ∫ 0 2 π d d t f ( x ( t ) , y ( t ) ) d t = f ( x ( 2 π ) , y ( 2 π ) ) − f ( x ( 0 ) , y ( 0 ) ) = 0 \oint df=参数化（x=x(t),y=y(t)）\oint_0^{2\pi} (\frac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t))x't +\frac{\partial f}{\partial y}(x(t),y(t))y't )dt\\ =\int_0^{2\pi} \frac{d}{dt}f(x(t),y(t))dt=f(x(2\pi),y(2\pi))-f(x(0),y(0))=0 ∮df=参数化（x=x(t),y=y(t)）∮02π(∂x∂f(x(t),y(t))x′t+∂y∂f(x(t),y(t))y′t)dt=∫02πdtdf(x(t),y(t))dt=f(x(2π),y(2π))−f(x(0),y(0))=0
注：微分形式的某些内容能在《微分几何》中寻找