LeetCode279. 完全平方数 DP完全背包
- https://leetcode.cn/problems/perfect-squares/
题目描述
- 给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
示例 1：
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：
输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
}
};
完全背包
-
恰好装满之类的01背包问题，竖向i是物品，横向j是容量。 i为前i件物品,容量j可以为0，算法主题为遍历i,j 。
由于无后效性，只知道nums[i],需要判断j-nums[i]能做什么。
j-nums[i]为装了当前物品剩余的空间。dp[ i-1][j-nums[i]]为这点空间能做的事情。如果最大化利润则为以下公式：
d p [ i ] [ j ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − w i ] + v i ) dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−w _i ]+v_i ) dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−wi]+vi) -
完全背包每次还是考虑当前项，只不过可以拿多个,那我们可以加个循环k
d p [ i ] [ j ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i − 1 ] [ j − w i ∗ k ] + v i ) dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i-1][j−w _i\color{red}*k\color{black} ]+v_i ) dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−wi∗k]+vi) -
实际上j是从小到大遍历的，所以可以用
d p [ i ] [ j ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − w i ] + v i ) dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[\color{red}i\color{black}][j−w _i ]+v_i ) dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−wi]+vi)
省略掉一个循环 -
0-1背包如果压缩维度dp[i][j-nums[i]]，但是j需要倒序遍历。
完全背包
完全背包是一类经典的背包问题，与0/1背包问题和多重背包问题不同。其中，每个物品可以被无限次地选择放入背包。也就是说，每个物品的数量是无限的。
假设有一个容量为 V V V的背包，现在有 n n n个物品，每个物品的体积为 w i w_i wi，价值为 v i v_i vi，同时每个物品的数量是无限的。问能够放入背包的最大价值是多少？
完全背包问题可以通过动态规划求解，时间复杂度为 O ( n V ) O(nV) O(nV)。可以用一个二维数组 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]来表示前 i i i个物品放入容量为 j j j的背包中获得的最大价值。其中，状态转移方程为 d p [ i ] [ j ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − w i ] + v i ) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-w_i]+v_i) dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−wi]+vi)，表示当前物品不放入背包或者放入背包均可。
- （二维的转移方程还是比较好记的，只需要将 d p [ i ] [ j ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i − 1 ] [ j − w i ] + v i ) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[\color{red}i-1\color{black}][j-w_i]+v_i) dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−wi]+vi)写成i就行）
13 = 9 = 3 \sqrt {13} = \sqrt{9} = 3 13=9=3
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ||||||||||||||
| 2 | ||||||||||||||
| 3 |
" 能够放入背包的最大价值 " ⇒ " 能够放入背包的最小价值 " ( 每个数的价值为 1 ) "能够放入背包的最大价值" \Rightarrow "能够放入背包的最小价值"\tiny(每个数的价值为1) "能够放入背包的最大价值"⇒"能够放入背包的最小价值"(每个数的价值为1)
d p [ i ] [ j ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − w i ] + v i ) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-w_i]+v_i) dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−wi]+vi)
d p [ i ] [ j ] = m i n ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − w i ] + 1 ) dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-w_i]+1) dp[i][j]=min(dp[i−1][j],dp[i][j−wi]+1)
class Solution {
public:
// 求平方后小于 n 的最大完全平方数
int min_sq(int n) {
int ans = 1;
for ( int i=1;i<n;i++ ) {
if ( i*i>n )
break;
ans = i;
}
return ans;
}
int numSquares(int n) {
// // 记忆化搜索
// int m = min_sq(n), cache[m+1][n+1];
// memset(cache, -1, sizeof(cache));
// function<int(int,int)> dfs = [&](int i, int c) -> int {
// if ( i<0 )
// return c==0 ? 0 : INT_MAX/2;
// if ( cache[i][c]!=-1 )
// return cache[i][c];
// if ( c<(i+1)*(i+1) )
// return cache[i][c] = dfs(i-1, c);
// return cache[i][c] = min(dfs(i-1, c), dfs(i, c-(i+1)*(i+1))+1);
// };
// return dfs(m-1, n);
// // 1:1 递推
// int m = min_sq(n), f[m+1][n+1];
// memset(f, 0x3f, sizeof(f));
// f[0][0] = 0;
// for ( int i=0;i<m;++i ) {
// for ( int c=0;c<n+1;++c ) {
// if ( c<(i+1)*(i+1) )
// f[i+1][c] = f[i][c];
// else
// f[i+1][c] = min(f[i][c], f[i+1][c-(i+1)*(i+1)]+1);
// }
// }
// return f[m][n];
// // 滚动双数组空间优化
// int m = min_sq(n), f[2][n+1];
// memset(f, 0x3f, sizeof(f));
// f[0][0] = 0;
// for ( int i=0;i<m;++i ) {
// for ( int c=0;c<n+1;++c ) {
// if ( c<(i+1)*(i+1) )
// f[(i+1)%2][c] = f[i%2][c];
// else
// f[(i+1)%2][c] = min(f[i%2][c], f[(i+1)%2][c-(i+1)*(i+1)]+1);
// }
// }
// return f[m%2][n];
// 单数组空间优化
int m = min_sq(n), f[n+1];
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
f[0] = 0;
for ( int i=0;i<m;++i ) {
for ( int c=0;c<n+1;++c ) {
if ( c>=(i+1)*(i+1) )
f[c] = min(f[c], f[c-(i+1)*(i+1)]+1);
}
}
return f[n];
}
};
// 作者：thirikid
// 链接：https://leetcode.cn/problems/perfect-squares/solution/ling-shen-wan-quan-bei-bao-hui-su-ji-yi-d48mb/
// 来源：力扣（LeetCode）
// 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
一维
这个问题可以通过动态规划求解。我们可以用一个一维数组 d p dp dp 来表示和为 i i i 的完全平方数的最少数量，状态转移方程为：
d p [ i ] = min j = 1 i { d p [ i − j 2 ] + 1 } dp[i] = \min_{j=1}^{\sqrt{i}} \{dp[i-j^2] + 1\} dp[i]=j=1mini{dp[i−j2]+1}
其中， j j j 表示一个完全平方数， i − j 2 i-j^2 i−j2 表示剩余的部分。也就是说，要计算和为 i i i 的完全平方数的最少数量，我们需要枚举最后一个完全平方数 j j j，并计算剩余部分 i − j 2 i-j^2 i−j2 的最少数量，最后加上 1 即可。
初始状态为 d p [ 0 ] = 0 dp[0] = 0 dp[0]=0，因为和为 0 0 0 的完全平方数数量为 0 0 0。
最终的答案为 d p [ n ] dp[n] dp[n]。以下是Python代码实现：
def numSquares(n: int) -> int:
# 初始化状态
dp = [float('inf')] * (n + 1)
dp[0] = 0
# 状态转移
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, int(i ** 0.5) + 1):
dp[i] = min(dp[i], dp[i - j*j] + 1)
return dp[n]