指数分布、泊松分布、几何分布的联系

我自己课下复习概率论的时候，发现了一些结论

1.我发现好像「无记忆性」与「伯努利试验」能构成充要条件

也就是说，只要有次0/1试验，设随机变量是第一次发生事件时已完成的试验数。只要满足
那么这次试验必然是伯努利试验。

必要性的证明，即已知伯努利试验，推无记忆性，课本已经给出。
下面证明充分性。

设第一次0/1试验出现事件的概率为，令，则有所以所以
设X的分布函数为，则有

移项，化简得
考虑第项，有
两式相减得
记，得
因为,所以
累加可得
因此
并且容易证明，对于每一次0/1试验，其出现事件的概率相等，因此该实验为伯努利试验。证毕。

2. 在证明了上述充要条件后，我联想到了指数分布。由于指数分布满足「无记忆性」，因此我尝试通过该条件，从零推导指数分布的分布函数。

首先建立一个模型。考虑时间轴，在每个时间点上都有概率发生事件。设随机变量是第一次发生事件时已经过的时间。我们假设这个时间满足「无记忆性」，这类似于等公交车，无论你什么时候到车站等，等待时间一般可以认为其期望是固定的。那么类似地，就有

设，设，则有

设分布函数为，则有
为了方便，引入函数，则有

变形，两边同除得
即
令，则有

因此构造了一个微分方程解之得
即

而，因此，因此

根据课堂上所讲拓展内容可知，实质上。因此，指数分布可以看作是一种在满足的情况下，取无穷大，无限小（类似于泊松分布的推导）的伯努利试验，可以看作是一种连续情况下的几何分布。继而也容易了解，指数分布与泊松分布之间的联系。