01Matlab编程基础

1. 回忆你所学过的数学函数并给出x=3.56 时以下函数的值

$\begin{array}{r}sign\left(x\right),x^a\left(a=3\right),\sin \left(x\right),\cos \left(x\right),\tan \left(x^2\right),2\tan \left(x\right)\end{array}$

$\begin{array}{r}{a}^x\left(a=3\right),e^x,\ln \left(\left|x-x^x\right|\right),{\log }_{3}x,\left[x\right],\\ \arcsin \left(x^2-3\pi \right),\sqrt[6]{x},\sqrt{2x^2+\frac{4x}{\ln \frac{x+e^x\sin x}{2x^2}}}\end{array}$

%第一题
x = 3.56;
a = 3;

x1 = sign(x)
x2 = x ^ a
x3 = sin(x)
x4 = cos(x)
x5 = tan(x ^ 2)
x6 = 2 * tan(x)
x7 = a ^ x
x8 = exp(x)
x9 = log(abs(x - x^x))
x10 = log10(x) / log(3) %log3X=log10(X)/log10(3)
x11 = ceil(x) %向上取整
x12 = asin(x ^ 2 - 3 * pi)
x13 = nthroot(x, 6)
x14 = sqrt(2 * x ^ 2 + (4 * x / (log((x + x8 * x3) / (2 * x ^ 2)))) )

2. 利用帮助了解向量函数max，min, sum，mean，sort，length，矩阵函数rand，size的功能和用法。操作步骤:先用函数rand生成一个5X10的矩阵再使用上面提到的函数，看看产生什么样的输出。并用自己的话说明上述函数的功能和用法。

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1. 向量函数：

   max：返回向量中的最大值。 用法：max(vector)

   min：返回向量中的最小值。 用法：min(vector)

   sum：返回向量中所有元素的总和。 用法：sum(vector)

   mean：返回向量中所有元素的平均值。 用法：mean(vector)

   sort：对向量进行排序，按升序排列。 用法：sort(vector)

   length：返回向量中的元素个数。 用法：length(vector)

2. 矩阵函数：

   rand：生成指定大小的随机矩阵，元素值在0和1之间。 用法：rand(rows, columns)

size：返回矩阵的大小（行数和列数）。 用法：size(matrix)

%第二题
%2.利用帮助了解向量函数max，min, sum，mean，sort，length，
% 矩阵函数rand，size的功能和用法。
% 操作步骤:先用函数rand生成一个5X10的矩阵再使用上面提到的函数，看看产生什么样的输出。
% 并用自己的话说明上述函数的功能和用法。

matrix = rand(5, 10)
max_value = max(matrix)
min_value = min(matrix)
sum_value = sum(matrix)
mean_value = mean(matrix)
sorted_matrix = sort(matrix)
matrix_length = length(matrix)

3.设有分块矩阵$A=\left[\begin{array}{cc}{E}_{3\times 3}& R_{3\times 2}\\ O_{2\times 3}& S_{2\times 2}\end{array}\right]$其中E,R,O,S分别为单位阵、随机阵、零阵和对角阵，试编写一个命令M文件，技术验证$A^2=\left[\begin{array}{cc}E& R+RS\\ 0& S^2\end{array}\right]$。提示：先产生一个矩阵A,计算出A;另一方面，计算矩阵$\left[\begin{array}{cc}E& R+RS\\ 0& S^2\end{array}\right]$，比较结果是否一致。

%第三题
% 生成分块矩阵 A
E = eye(3);                 % 3x3单位阵
R = rand(3, 2);             % 3x2随机阵
O = zeros(2, 3);            % 2x3零阵
S = diag([1, 2]);           % 2x2对角阵

A = [E, R; O, S];           % 构建矩阵 A

% 计算 A^2
A_squared = [E, R + R*S; O, S^2];

% 输出结果比较
if isequal(A^2, A_squared)
    disp('A^2 = [E, R+RS; 0, S^2]');
else
    disp('A^2 ≠ [E, R+RS; 0, S^2]');
end

4. 在同一个坐标下作出$y_{1}=x,y_{2}=x-\dfrac{x^{{3}}{3!},y_{3}=x-\dfrac{x}{3}}{3!}+\dfrac{x^{5}}{5!},y_{4}=\sin \left( x\right) $，这四条曲线的图形,说明 Taylor 公式说明了什么问题。

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Taylor 公式是一种用无穷级数展开来逼近函数的方法。它可以将一个函数在某个点附近的局部行为用多项式来表示。y1 = x 就是函数 f(x) = x 在 x = 0 处的一阶泰勒展开式，y2 和 y3 分别是 f(x) = sin(x) 在 x = 0 处的三阶和五阶泰勒展开式。通过绘制这些曲线，我们可以观察到泰勒展开式在给定点附近的逼近效果。Taylor 公式说明了在某个点附近，一个光滑函数可以用一个多项式逼近。通过增加多项式的阶数，我们可以获得更高精度的逼近结果。

%第四题
x = linspace(-2*pi, 2*pi, 100);  % 生成 x 的取值范围
y1 = x;
y2 = x - x.^3/factorial(3);
y3 = x - x.^3/factorial(3) + x.^5/factorial(5);
y4 = sin(x);

% 绘制曲线
figure;
hold on;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 2);
plot(x, y2, 'r', 'LineWidth', 2);
plot(x, y3, 'g', 'LineWidth', 2);
plot(x, y4, 'm', 'LineWidth', 2);
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('y_1 = x', 'y_2 = x - x^3/3!', 'y_3 = x - x^3/3! + x^5/5!', 'y_4 = sin(x)');
title('Taylor公式的示例');

hold off;

5. 用 subplot 分别在不同的坐标系下作出四条曲线

(1)概率曲线$y=e^{-x^2}$

(2)四叶玫瑰线$\rho =\sin 2\theta $

(3)叶形线$\{\begin{array}{l}x=\frac{3t}{1+t^3}\\ y=\frac{3t^2}{1+t^3}\end{array}$

(4)$x=\ln \frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y}-\sqrt{1-y^2}$

%第五题   用 subplot 分别在不同的坐标系下作出四条曲线
t = linspace(-10, 10, 100);  % 生成 t 的取值范围

% 概率曲线 y = e^(-x^2)
x1 = t;
y1 = exp(-x1.^2);

% 四叶玫瑰线 rho = sin(2*theta)
theta = t;
rho = sin(2*theta);

% 叶形线
x3 = 3*t./(1 + t.^3);
y3 = 3*t.^2./(1 + t.^3);

% x = ln((1 + sqrt(1-y^2))/y) - sqrt(1-y^2)
y4 = linspace(-1, 1, 1000);
x4 = log((1 + sqrt(1 - y4.^2))./y4) - sqrt(1 - y4.^2);

% 绘制四个子图
figure;

% 子图1：概率曲线
subplot(2, 2, 1);
plot(x1, y1, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('概率曲线');

% 子图2：四叶玫瑰线
subplot(2, 2, 2);
polarplot(theta, rho, 'r', 'LineWidth', 2);
title('四叶玫瑰线)');

% 子图3：叶形线
subplot(2, 2, 3);
plot(x3, y3, 'g', 'LineWidth', 2);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('叶形线');

% 子图4：曲线 x = ln((1 + sqrt(1-y^2))/y) - sqrt(1-y^2)
subplot(2, 2, 4);
plot(x4, y4, 'm', 'LineWidth', 2);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('曲线');

% 调整子图之间的间距
sgtitle('不同坐标系下的曲线');

6. 做出曲面$\{\begin{array}{l}x=\left(1+\cos u\right)\cos v,\\ y=\left(1+\cos u\right)\sin v,u\in \left(0,2\pi \right)\\ Z=\sin u,v\in \left(0,2\pi \right)\end{array}$

%第六题
u = linspace(0, 2*pi, 100);    % 生成 u 的取值范围
v = linspace(0, 2*pi, 100);    % 生成 v 的取值范围

[u, v] = meshgrid(u, v);       % 生成网格点

% 参数方程
x = (1 + cos(u)) .* cos(v);
y = (1 + cos(u)) .* sin(v);
z = sin(u);

% 绘制曲面
figure;
surf(x, y, z);
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
title('曲面');

7. 利用 for 循环求 1! +2! +3!+ …+5!的值。

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%第七题
n = 5;  % 求和的最大阶乘值
sum = 0;  % 初始化求和结果

for k = 1:n
    sum = sum + factorial(k);  % 累加到求和结果
end

disp(sum);  % 输出结果

8. 已知一维数组 A=[2,4,5,8,10],B=[4,6,9,3,4],用 for 循环语句实现${\sum }_{i=1}^n{A}_i{B}_{n-i+1}$求和函数可用 sum()。

153

%第八题
A = [2, 4, 5, 8, 10];
B = [4, 6, 9, 3, 4];
n = length(A);

result = 0;

for i = 1:n
    result = result + A(i) * B(n - i + 1);
end

disp(result);

B=[4,6,9,3,4],用 for 循环语句实现${\sum }_{i=1}^n{A}_i{B}_{n-i+1}$求和函数可用 sum()。

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%第八题
A = [2, 4, 5, 8, 10];
B = [4, 6, 9, 3, 4];
n = length(A);

result = 0;

for i = 1:n
    result = result + A(i) * B(n - i + 1);
end

disp(result);