概率论的学习和整理15： 超几何分布，二项分布，泊松分布是如何趋近收敛的?

目录

1 问题：

2 结论

3 实验1 

4 实验2 

5 实验3 

6 实验4

5 各种规律总结

5.1   1 

5.2  2

5.3  3

5.4 4

6 超几何分布，二项分布，泊松分布，三者用EXCEL模拟

6.1 简单的扩展到泊松分布

6.2  比较整体的动态过程，增加实验次数时

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1 问题：

• 从一个简单模型说开去
• 比如，有10个球，其中有x个A，y个B，其中x+y=10
• 现在要知道连抽4次其中有2次为A的概率（放回）,  这个是二项分布
• 现在要知道连抽4次其中有2次为A的概率（不放回），这个是超几何分布
• 这两者计算结果一样吗？大概率会不一样
• 但是不一样的点在哪儿？

2 结论

• 在这个试验里
• 由于A球的概率p 永远== A球数/ 总样本数 == 超几何分布的M/N
• 所以二项分布的期望 E(X)=np  == E(X)=n*M/P
• 这个我觉得是特例，能给我们什么思考呢？

• 虽然期望相同
• 但是取不同的k值，即要求抽出A球的个数不同时
• 放回--对应的二项分布，和不放回对应的--超几何分布，概率是不一样的，概率分布函数差异可能还很大。
• 方差也不同

• 超几何分布，当N越大，也就是M/N越小的时候，越趋向于二项分布，因为不放回对总体样本量的影响变得很小了。
• 但是事实上当N越大，M也很大，也就是M/N越大的时候，超几何分布也趋向于二项分布！
• 其实是要求 样本n/N 很小，k也相对N很小时，超几何分布趋向于二项分布
• 所以，需要注意，小样本数量的时候，二项分布和超几何分布的概率差异很大！！
• 但是当N变大，同时M/N越小，二项分布和超几何分布的pdf图形就很重合了！

3 实验1 

• 比如，有10个球，其中有2个A，8个B，其中x+y=10
• 抽奖4次，然后需要求连抽2次都是A求的概率
• 现在要知道连抽4次其中有2次为A的概率（放回），见图中二项分布的计算
• 现在要知道连抽4次其中有2次为A的概率（不放回），见图中超几何分布的计算

 

4 实验2 

• 比如，有10个球，其中有4个A，6个B，其中x+y=10
• 抽奖2次，然后需要求连抽2次都是A求的概率
• 现在要知道连抽2次其中有2次为A的概率（放回），见图中二项分布的计算
• 现在要知道连抽2次其中有2次为A的概率（不放回），见图中超几何分布的计算

5 实验3 

• 比如，有30个球，其中有5个A，25个B，其中x+y=30
• 抽奖10次，然后需要求连抽5次都是A求的概率
• 现在要知道连抽10次其中有5次为A的概率（放回），见图中二项分布的计算
• 现在要知道连抽10次其中有5次为A的概率（不放回），见图中超几何分布的计算

6 实验4

• 比如，有100个球，其中有5个A，95个B，其中x+y=30
• 其实是要求 样本n/N 很小，k也相对N很小时，超几何分布趋向于二项分布
• 极大扩大了N，其实是为了让 M/N 变小很多
• 抽奖10次，然后需要求连抽5次都是A求的概率
• 现在要知道连抽10次其中有5次为A的概率（放回），见图中二项分布的计算
• 现在要知道连抽10次其中有5次为A的概率（不放回），见图中超几何分布的计算

极大扩大了N，但同时让M也变大

N=100,M=95, m/n很大，图形也是基本重合的

其实是为了让 M/N 变小很多

5 各种规律总结

5.1   1 

5.2  2

5.3  3

5.4 4

 

6 超几何分布，二项分布，泊松分布，三者用EXCEL模拟

6.1 简单的扩展到泊松分布

1    M，N都趋向∞时，超几何分布趋向二项分布            
2    n足够大，np固定，二项分布概率收敛于泊松分布，            
    近似成立的前提要求n足够大，而p足够小，np不是很小            
3    他们的期望都是一样的，概率分布pdf不同            
4    其中超几何分布3个参数，二项分布2个参数，泊松分布1个参数            
    M/N 趋向于P，而np=λ            
 

画图注意

为了看出明显差别，只取前5个数据做曲线比较即可

 

 

6.2  比较整体的动态过程，增加实验次数时

• 把数据总量S扩展到30条，
• 手动修改实验次数可以发现动态规律
• 那就是二项分布的PDF图形在趋向于 泊松分布